Едно определено интегралче

[man_utd1992]

∫ ot 0 do pi/2 (1+cosx dx)/(cosx+sinx+2)
Получавам странен отговор, явно съм сбъркал второто полагане.

[kerry]

Универсалната субституция [tex]t=tg \frac{x}{2} \ ; \ cos x = \frac{1-t^2}{t^2+1} \ ; \ sin x = \frac{2t}{t^2+1} \ ; \ dx=\frac{2}{t^2+1} dt \ ; \ 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \ ; \ 0 \le t \le 1[/tex]


[tex]\int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+cos x}{2+cos x + sin x} dx= \int_0^1 \frac{4}{(t^2+2t+3)(t^2+1)}dt = \int_0^1 \frac{t+1}{(t+1)^2+2} - \frac{t}{t^2+1} + \frac{1}{t^2+1} dt = \frac{\pi}{4}[/tex]