Принцип за сравняване на редове

[WEBER]

Имам съмнение, че не прилагам принципа коректно. Моля да ме коригирате ако е грешен следният пример:

[tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\sqrt{k+1} }{5k+1 }[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{k+1} }{5k+1 }>\frac{1 }{5k+1 }[/tex]

Редът [tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1 }{5k+1 }[/tex] е разходящ (установих го по интегралния критерий на Коши), следователно и търсеният ред е разходящ.

[martosss]

Да, логиката изглежда абсолютно вярна....
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%28sqrt%28k%2B1%29%2F%285*k%2B1%29%29dk+from+1+to+infinity
Ето и потвърждение, че дадената сума е разходяща.

[ptj]

Имам съмнение, че не прилагам принципа коректно. Моля да ме коригирате ако е грешен следният пример:

[tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\sqrt{k+1} }{5k+1 }[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{k+1} }{5k+1 }>\frac{1 }{5k+1 }[/tex]

Редът [tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1 }{5k+1 }[/tex] е разходящ (установих го по интегралния критерий на Коши), следователно и търсеният ред е разходящ.

В общия случай логиката ти е грешна

Един ред е разходящ или когато има няколко точки на сгъстяване или когато има безкрайна точка на сгъстяване.

Написаното от теб е вярно само когато първия ред е неограничен от дясно (има негов подред с граница [tex]+\infty[/tex]).

П.П. Ще ти дам пример за да ме разбереш: първия ред може да има 2 точки на сгъстяване, а втория да е сходящ с граница по-голяма от тях.

[drago]

Имам съмнение, че не прилагам принципа коректно. Моля да ме коригирате ако е грешен следният пример:

[tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\sqrt{k+1} }{5k+1 }[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{k+1} }{5k+1 }>\frac{1 }{5k+1 }[/tex]

Редът [tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1 }{5k+1 }[/tex] е разходящ (установих го по интегралния критерий на Коши), следователно и търсеният ред е разходящ.

В общия случай логиката ти е грешна

Един ред е разходящ или когато има няколко точки на сгъстяване или когато има безкрайна точка на сгъстяване.

Написаното от теб е вярно само когато първия ред е неограничен от дясно (има негов подред с граница [tex]+\infty[/tex]).

Ptj,
пак даде шах с пешката.
Написаното от weber е абсолютно вярно при ред с положителни членове, какъвто е случая

[ptj]

Написаното от мен си остава вярно за общия случай . Редовете с положителни членове са монотонно растящи и затова няма как да имат повече от една точка на сгъстявяне. Това е причината в конкретния случай логиката да е правилна.

П.П. Имаше нужда от пояснение.

[WEBER]

Благодаря, за поясненията. ptj, благодаря за това допълнение. Искам да кажа, че когато доказвах теоремата за сравнение на 2 реда с неотрицателни членове най-напред доказах, че редицата от парциални суми на първия се ограничава от тази на втория (грубо казано), което означава, че първата редица е ограничена, което е необходимо условие за сходимост. За да е сходяща обаче трябва да е и монотонна, което си следваше от факта, че реда е с положителни членове (второто ми отне към 10 мин докато ме удари по главата ). От тук нататък наистина не се бях замислял как стои въпроса в по-общия случай, за което пак благодаря.

Сега пак съм на аналогичната теорема (Теорема на Вайерщрас) и решавам следната задача с нейна помощ

[tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^x }[/tex]

В учебника пише, че е разходящ, аз го изкарах равномерно сходящ хаха

[mkmarinov]

Сходящ е за х>1.

[WEBER]

Пропуснах да кажач, че в условието е дадено, че [tex]x\in (1,\infty )[/tex]

[martosss]

хм, ние когато ги доказвахме в този случай използвахме "integral test", тоест изчисляваме
[tex]A=\int_{1}^{ \infty } \frac{1}{k^x}dx[/tex] и доказваме, че за всички стойности на х в дадения интервал [tex]A[/tex] е сходим. Тогава и самата сума би трябвало да е сходима, понеже тя е само част от този интеграл

[WEBER]

Този подход го използвах при доказване на интегралния критерий на Коши за сходимост