Теоретичен въпрос в/у степенни редове

[WEBER]

Разлиствам си аз едно ръководство с решени задачи и попадам на следните 2. Условието е поставено така:

Да се намерят радиусът на сходимост и интервалът на сходимост на следните степенни редове:

A. [tex]\frac{x^3}{3 }+\frac{x^7}{7 } +\frac{x^{11}}{11 }+...+\frac{x^{4n-1}}{4n-1 }+...[/tex]

B. [tex]\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1}nx^{n-1}[/tex]

Решенията са повече от очевидни, съответно с почленно диференциране и с почленно интегриране. Така са и решени в учебника, но никъде в решението не видях да е доказано, че първият ред е сходящ, а вторият-равномерно сходящ.
До колкото разбирам в теоремите за почленно диференциране и интегриране това са необходими условия, за да могат те да се приложат.

Искам да попитам дали при така поставеното условие не се подразбира, че редовете са сходящи? Защото аз не го разбирам така и според мен първо трябва да се докаже че са сходящи. Не вярвам да са сгрешили...

[WEBER]

Ето и доказателството ми за A.

[tex]f(x)=\lim_{x\to\ \infty }f_{n}(x) = \lim_{x\to\ \infty } \frac{x^{4n-1}}{4n-1 }=
\left{
\begin{array}{ll}
0, & |x|<1 \\
\infty , & |x|>1
\end{array}
\right.[/tex]

Следва, че граничната функция [tex]f(x)=0[/tex]

[tex]\frac{|x^{4n-1}|}{4n-1 } <\frac{1}{4n-1 } <\frac{1}{4\eta-1 }[/tex]

за [tex]\eta = \frac{1+\epsilon}{4\epsilon }[/tex] имаме неравенството

[tex]\frac{|x^{4n-1}|}{4n-1 }<\epsilon[/tex]

Tова (според мен) доказва, че редът е равномерно сходящ за всяко [tex]|x|<1[/tex].

[WEBER]

Пропуснах да кажа, че се търсят и сумите на редовете.

[mkmarinov]

Сумата на първото:
[tex]\frac{df_n(x)}{dx}=x^2+x^6+x^{10}+\dots=\frac{x^2}{1-x^4}[/tex]
[tex]f_n(x)=\int \frac{x^2}{1-x^4}dx=\frac{1}{2}(\int \frac{dx}{1-x^2}-\int \frac{dx}{1+x^2})=\dots[/tex]
Константата можеш да я намериш като заместиш с лесна за пресмятане стойност, например х=0.

Аналогично и за втората задача.

[WEBER]

Аз мога да си намеря сумите, но не съм съгласен, че могат да се приложат теоремите без да са налице необходимите условия. Не искам да издребнявам, но така смятам.