Помогнете ми да реша тези интеграли

[TreantBG]

[tex]\int_{}^{ }\frac{xe^{arcsinx}}{\sqrt{1 + x^2} }dx[/tex]
[tex]\int_{}^{ }\ln\frac{1-x}{1-x } dx[/tex]

Стигам до някъде и зацепвам.
Задачите трябва да се решат с интегриране по части.

[0xdeadbeef]

Нека първо да решим следния интеграл:

[tex](1)[/tex] [tex]\int \ln x dx = \int (x)' \ln {x} dx = x\ln{x} - \int x (\ln{x})' dx = x\ln{x} -\int dx \ = x(\ln{x} - 1) + C[/tex].

---

[tex]I = \int \ln{\frac{1-x}{1+x}} dx = \int \ln{(1-x)}dx - \int \ln{(1+x)} dx = -[ \int \ln{(1+x) d (1+x)} + \int \ln{(1-x)} d(1-x)][/tex].

Сега предид [tex](1)[/tex] [tex]I = \dots[/tex]

[TreantBG]

не се сетих за свойството на логаритмите
благодаря
а за първото можеш ли да помогнеш
[tex]\int_{}^{ }\frac{xe^{arcsinx}}{\sqrt{1 - x^2} }dx[/tex]

Бях изпуснал един минус

[mkmarinov]

Така е по-различно. Вмъкваме знаменателя под диференциала:
[tex]\int xe^{arcsinx}darcsinx[/tex]
Заменяме [tex]arcsinx = t[/tex]: [tex]x=sint[/tex], а интегралът става
[tex]\int sinte^t dt[/tex]
Който се решава с двукратно интегриране по части и малко хитрост.

[0xdeadbeef]

Само да отбележа, че интегралите [tex]A = \int e^{a}\sin{bx} dx[/tex] и [tex]B=\int e^{a}\cos{bx}dx[/tex], могат също да се решат, като се използва формулата на Ойлер : [tex]e^{i\varphi} = \cos{\varphi} + i\sin{\varphi}[/tex] .

[tex]I = \int e^{(a + ib)x} dx = \frac{1}{a + ib} \int e^{(a+ ib)x} d (a+ ib)x = \frac{1}{a + ib} e^{(a+ ib)x} + C[/tex].

Като [tex]A = Im\{I\}; B = Re\{I\}[/tex].

[TreantBG]

А какво ще кажете за този
[tex]\int_{}^{ }\frac{xcosx}{ sin^3x}dx[/tex]
аз се опитах да го решата така:

[tex]\int_{}^{ }\frac{xcotgx}{ sin^2x}dx = -\int_{}^{ }xcotgxdcotgx[/tex]

и от тука с метода за интегриране по частни, но не стигам до никъде...
[tex]-xcotg^2x + \int_{}^{ } cotgx dxcotgx[/tex]
да не би да бъркам в самите трянсформации

[mkmarinov]

Пак, след смяна на променлива:
[tex]cotgx=t[/tex]
[tex]\int xcotgx dcotgx = \int t.arccotg(t) dt[/tex]

[kerry]

Честита Нова Година !!!
Пожелавам на всички много, много успехи.

Според мен няма нужда от полагания.
[tex]\int \frac{x.cosx}{sin^3 x}dx = \int \frac{x \ dsinx}{sin^2x}= -\frac{1}{2} \int x \ d(sin^{-2}x)= -\frac{1}{2}. \frac{x}{sin^2x}+ \frac{1}{2} \int \frac{dx}{sin^2x}=-\frac{1}{2}. \frac{x}{sin^2x} - \frac{1}{2} cotgx +C[/tex]

[TreantBG]

[tex]\int \frac{x.cosx}{sin^3 x}dx = \int \frac{x \ dsinx}{sin^2x}[/tex]

Нов съм в интегралите и за това не разбрах как от синус на 3-та си смъкнал на синус на 2-ра
разбрах че косинуса го вкарваш под знака на диференциала
[tex]\int \frac{x.cosx}{sin^3 x}dx = \int \frac{x}{sin^3 x}dsinx[/tex]
какво пропускам???

[kerry]

Допуснал съм грешка при писането на LaTeX. Степента е 3, но нататък е правилно.