Имам проблеми при смяна на интеграционната променлива

[TreantBG]

Хора, не бях на тези лекции в които обясняваха как се сменя променливата и сега ми е тегаво да го разбера от онлайн лекциите, които са обяснени сложно.

Някой би ли ми обяснил съвсем просто как да избирам коя променлива да сменям с коя.
Точно това е проблема, не мога да започна с избора на променлива.
Ще ви дам няколко примера да ми обясните.

[tex]\int_{}^{ } \frac{x^2}{ \sqrt{9 - x^2} } dx[/tex]
и
[tex]\int_{0 }^{\sqrt{3} } \frac{dx}{ 1 + x^2}[/tex]

[Anubis]

1. Вторият интеграл няма нужда от смяна на променливата, защото той е табличен.

[tex]\int{\frac{1}{1+x^2}} \operatorname{d}x = \arctan x \Rightarrow \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x = \arctan \sqrt{3} - \arctan 0 = \frac{\pi}{3}[/tex]

2. Да разгледаме интеграл от вида [tex]\int{\sqrt{a^2-x^2}} \operatorname{d}x[/tex]. Ако положим [tex]x = a sin t[/tex], виждаме, че

[tex]\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2 sin^2 t} = \sqrt{a^2 (1 - sin ^2 t)} = a cos t[/tex], като приемаме [tex]a \in (0; +\infty), \, t \in \left [ -\frac{\pi}{2}; \, \frac{\pi}{2} \right ][/tex], за да

имаме еднозначност.

[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} \operatorname{d}x = \int \frac{x^2}{\sqrt{3^2-x^2}} \operatorname{d}x; \, x = 3 sin t \Rightarrow \operatorname{d}x = 3 cos t \operatorname{d}t[/tex]

[tex]\int {\frac{9 sin^2 t}{3 cos t}} . 3 cos t \operatorname{d}t = 9 \int {sin^2 t} \operatorname{d}t = 9 \int {\frac{1 - cos 2t}{2}} \operatorname{d}t = \frac{9}{2} \left ( \int \operatorname{d}t - \int {cos 2 t} {\operatorname{d}t} \right ) = \frac{9}{2} \left ( t - \frac{1}{2} sin 2t \right )[/tex]

[tex]\frac{x}{3} = sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{3}; \, sin 2 t = 2 sin t cos t = 2 sin ( \arcsin \frac{x}{3} ) cos ( \arcsin \frac{x}{3} )[/tex]

Понеже [tex]sin ( \arcsin f(x) ) = f(x)[/tex] в [tex]\left [ -\frac{\pi}{2}; \, \frac{\pi}{2} \right ][/tex] и [tex]cos ( \arcsin f(x) ) = \sqrt{1-(f(x))^2}[/tex], то

[tex]sin 2 t = 2 . \frac{x}{3} . \sqrt{1 - (\frac{x}{3})^2} = \frac{2}{9} x \sqrt{9-x^2}[/tex]. Тогава виждаме, че [tex]\int {\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}} \operatorname{d}x = \frac{9}{2} \left ( \arcsin \frac{x}{3} - \frac{x}{9} \sqrt{9-x^2}\right )[/tex].

Да кажем няколко важни неща за смяна на променливите в неопределените и определените интеграли.

1. При смяна на променливите в неопределените интеграли накрая задължително се връщаме към

първоначалните променливи, защото неопределеният интеграл е съвкупност от първообразни, различаващи се с

константа.

2. При смяна на променливите в определените интеграли новите променливи също почват да се изменят в

някакви интеграционни граници. Накрая при сформиране на отговора не се връщаме към първоначалните

променливи, защото определеният интеграл е число.

Ако полагането [tex]x = f(t), \, a \le x \le b[/tex], е смяна на променливите в определените интеграли, можем чрез

преобразувания да намерим новата променлива като функция на старата: [tex]t = g(x)[/tex]. След заместване в това

равенство на [tex]x[/tex] веднъж с [tex]a[/tex] и веднъж с [tex]b[/tex] намираме интеграционните граници на [tex]t[/tex]: [tex]g(a) \le t \le g(b)[/tex].

От [tex]x = f(t)[/tex] с еднократно диференциране стигаме до [tex]\operatorname{d}x = \operatorname{d} (f(t)) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = f'(t) \operatorname{d}t[/tex].

[tex]\int_{a}^{b} F(x) \operatorname{d}x; \, x = f(t) \Rightarrow \int _{g(a)}^{g(b)} F(f(t)).f'(t)\operatorname{d}t[/tex]

Ако има още работи, които те затрудняват, пиши, ще измислим нещо.