Резидууми

[WEBER]

Да се пресметне интегралът като се ползва теоремата за резидуумите

[tex]\int_{|z|=1}^{ } \frac{1}{z^2sinz } dz.[/tex]

[WEBER]

Толкова ли е трудна задачата та никой не помага?
Не искам никой да пуска решения, още по малко да се мъчи да пише на LaTeX искам само Quick Hint

[grav]

Не е трудна, но не е ясно какво точно очакваш. Единствената особенна точка е нулата, намираш резидиума и прилагаш теремата.

[WEBER]

[tex]Res f(z_{0})=\frac{1}{(m-1)! } \lim_{z\to\ z_{0}} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1} }((z-z_{0})^{m}f(z))[/tex], където [tex]m[/tex] е кратността на полюса


[tex]Res f(0)=\frac{1}{(3-1)! } \lim_{z\to\ z_{0}} \frac{d^{3-1}}{dz^{3-1} }((z-0)^{3}\frac{1}{z^2sinz } )[/tex] ?

[grav]

Имено, втората производна на [tex]\frac z{\sin(z)}[/tex] за [tex]z=0[/tex]. Тук има сметки, но принципно е ясно. Друг вариант е да развиеш в ред, използвайки геометричния ред

[tex]\frac z{\sin(z)}=\frac z{z-\frac{z^3}{3!}+\cdots}=\frac1{1-\frac{z^2}{3!}+\cdots}=1+\left(\frac{z^2}{3!}-\cdots\right)+\left(\frac{z^2}{3!}-\cdots\right)^2+\cdots[/tex]

което ти спестява много сметки.