Изследване на функция със случаи

[seppen]

[tex]f(x) = \lfloor x \rfloor sin \pi x[/tex]

Това, дето аз правя:
[tex]\normal x=k \in \mathbf{Z} \Rightarrow f(k)=k sin(k \pi)=0[/tex]
[tex]\normal x \not \in Z \Rightarrow \\ f(k-0)=(k-1) sin((k-0) \pi)=0 \\ f(k+0)=k sin((k+0) \pi)=0[/tex]

Оттук би следвало, че е непрекъсната, но дали е достатъчно? Нещо, гнило ми изглежда.

[martin123456]

x e реално и се пита дали е непрекъсната?

[seppen]

Да.
Тя, че е непрекъсната, непрекъсната е. Ама как да стигнем дотам?

[martin123456]

a) [tex]x_0 \in \mathbb{Z}[/tex]
- [tex]f(x_0)=0[/tex]
-лява граница: нека [tex]{x_n} \rightarrow x_0, \hspace{2mm}x_n <x_0[/tex]=>за големи [tex]n[/tex] [tex][x_n]=x_0-1[/tex]=>[tex]f(x_n)=(x_0-1)\sin{(\pi x_n)} \rightarrow (x_0-1)\sin{(\pi x_0)}=0[/tex], понеже [tex]ag(x)[/tex], където [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната е непрекъсната.
- дясна граница: нека [tex]{x_n} \rightarrow x_0, \hspace{2mm}x_n >x_0[/tex]=> за големи [tex]n[/tex] [tex][x_n]=x_0[/tex]=>[tex]f(x_n)=x_0\sin{(\pi x_n)} \rightarrow x_0\sin{(\pi x_0)}=0[/tex], понеже [tex]ag(x)[/tex], където [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната е непрекъсната.
значи в цели числа е непрекъсната
б) [tex]x_0 \not \in \mathbb{Z}[/tex]. известно е че функцията [tex]g(x)=[x][/tex] е непрекъсната в [tex]x_0 \not \in \mathbb{Z}[/tex]. това доказвам по долу. като произведение на 2 непрекъснати функции и нашата е непрекъсната.
док на горното: [tex][x_0]<x_0<[x_0]+1[/tex]. [tex]\{x_n\} \rightarrow x_0[/tex]=> за големи [tex]n[/tex] [tex][x_0] < x_n < [x_0]+1[/tex]. => [tex]g(x_n)=[x_n]=[x_0][/tex] и значи е непрекъсната.

[seppen]

За а) (непрекъснатостта в целите числа) може ли да остане така, както съм го написала или трябва да бъде с редици?

[martin123456]

ти намираш стойността на функцията в цялото число k, но не показваш че лявата и дясната граница когато x клони към k са равни на тази стойност

[seppen]

Ами, нали уж ги намирам.
f(k-0)=f(k)=f(k+0)
За това ли говориш? Подробност.

И все пак значи може и без [tex]\normal x_n[/tex], по принцип?

Благодаря много!

[martin123456]

ааа ти ги намираш - аз стого разделих писаното от теб на 2 случая
значи права си. с написаното от теб си доказала непрекъснатост в цели числа, по същия начин както и аз го доказах но с повече писане - намерила си стойнсотта в цялото число и за близки до него вляво и вдясно нецели числа си показала че границата е същата. това все едно е сходимост по коши. аз ползвах хайне.
но не е доказано непрекъснатост в нецели числа.

[addeqna]

[quote="martin123456"][/quote]
една производна -Дали можете да я решите?


[tex]f(x )=\frac{arccos x}{ x}+\frac{1}{ 2} ln\frac{1-(1-x^2)^{ \frac{1}{2 } }}{ 1+(1-x^2)^ { \frac{1}{2 }} }[/tex]

[mkmarinov]

x=sint (DM)
[tex]f(t)=\frac{arccos(sin(t))}{sin(t)}+\frac{1}{2}ln(\frac{1-cost}{1+cost})=\frac{|\frac{\pi}{2}-t|}{sint}+\frac{1}{2}ln(tg^2(\frac{t}{2}))=\frac{|\frac{\pi}{2}-t|}{sint}+ln(tg(\frac{t}{2}))[/tex]
[tex](ln(tg(\frac{t}{2})))'=\frac{1}{sint}[/tex]
Другата като производна на частно.
(Като не съм сигурен за [tex]arccos(sin(t))=|\frac{\pi}{2}-t|[/tex]