Развитие на ф-ция в ред на Фурие

[WEBER]

Да се развие в ред на Фурие ф-цията [tex]10-x[/tex] в интервала [tex](5,15)[/tex].

[tex]l=\frac{15-5}{2 }=5[/tex]

[tex]a_{0}=\frac{1}{5 } \int_{5}^{15 }(10-x)dx = 0[/tex]

[tex]a_{k}=\frac{1}{5 } \int_{5}^{15 }(10-x)cos[/tex] [tex]\frac{k\pi x}{5 }[/tex] [tex]dx=0[/tex]

До тук всичко е чудесно. И сега
Ползвам лемата, че ако [tex]f(x)[/tex] е интегруема и [tex]f(x+T)=f(x)[/tex], то за произволен параметър [tex]c\in R[/tex] e изпълнено [tex]\int_{c}^{c+T } f(x)dx = \int_{-T/2}^{T/2 }f(x)dx[/tex]
и значи

[tex]\int_{5}^{15 } f(x)dx= \int_{-5}^{5 } f(x)dx[/tex]

[tex]b_{k}= \frac{1}{5 } \int_{-5}^{5 }(10-x)sin(k\pi x/ 5) dx=[/tex]
[tex]=- \frac{1}{5 }.[/tex] [tex]\frac{5}{k\pi }[/tex] [tex]\int_{-5}^{5 }(10-x)dcos \frac{k\pi x}{5 }=[/tex]

[tex]=-\frac{1}{k\pi } (cos(k\pi x/5 ) (10-x) \begin{tabular}{|l}-5\\5 \end{tabular} + \int_{-5}^{5 }(10-x)cos(k\pi x/5) dx[/tex]

[tex]=-\frac{1}{k\pi } (5.(-1)^{k}-15.(-1)^{k}+\frac{5}{k\pi }sin(k\pi x/5 )\begin{tabular}{|l}-5\\5 \end{tabular})=[/tex]

[tex]=\frac{10.(-1)^{k}}{k\pi }[/tex]

Според учебника трябва да се получи [tex]\frac{10.(-1)^{k}}{(k\pi)^2 }[/tex] Къде греша?

Според wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... to+5&cdf=1

Все си мислех, че [tex]sin(k\pi)=0, k=\pm 1,\pm 2,...[/tex]

Аз ли полудявам, писна ми вече нито една задача от тоя род не изкарах вярна, да не греша във формулите?!

[grav]

Фунцията е периодична с период 10, но формулата [tex]10-x[/tex] представлява фунцията в интервала [tex](5,15)[/tex]. В интервала [tex](-5,5)[/tex] функцията е [tex]-x[/tex].

[WEBER]

Така е, виждам го на чертежа, който си направих. Но изхождайки от лемата f(x) се получава точно интеграла, който съм получил.

[tex]\int_{10}^{15 } f(x)dx=\int_{5}^{5+10 } f(x)dx=\int_{-10/2}^{10/2 } f(x)dx=\int_{-5}^{5 } f(x)dx[/tex], където [tex]T=10[/tex]

[grav]

Вярна е, просто фунцията се дава с различна формула в различните интервали. Започваш с функцията [tex]10-x[/tex] в дадения интервал и я продължаваш до периодична върху цялата права, тази фунция е [tex]f(x)[/tex], но в различните интервали се дава с различна формула. Фунцията [tex]10-x[/tex] не е периодична, за това не може да използваш лемата за нея.

п.с. Това беше коментар към предишния ти пост. Сега си го редактирал.

[WEBER]

Фунцията [tex]10-x[/tex] не е периодична, за това не може да използваш лемата за нея.

Жесток пропуск от моя страна.

[tex]b_{k}=-(1/5)\int_{-5}^{5 } xsin(k\pi x/5)dx[/tex] ?