Сходимост

[Angelll]

Здравейте можете ли да ми отговорите кога един ред е сходящ и кога разходящ т.е според дефиницията необходимо условие редът да е сходящ е да съществува границата lim Sn=S при n->\infty но не мога да си обясня какво имат т.е откъде се прави заключението например че \sum_{n=1}^{\infty } 1/n(n+1) e сходящ?

[martosss]

В повечето пъти дадената сума се сравнява с някоя друга, която знаем, че е сходяща/разходяща и оттам си правим заключение.

Твоят пример:
[tex]\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}\Right \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/tex] и сега знаем, че 1/n² е сходимо и че то е по-голямо от даденото => даденото е също сходимо.

Най-често се сравнява с 1/n² или с (k/р)ª, където k/р е някаква дроб, която е >1 или <1 и в зависимост от това като я вдигнеш на безкрайна степен тя или клони към 0, или към безкрайност.

[Angelll]

тоест една трябва да когато н клони към безкрайност сумата да клони към 0?

[WEBER]

Един ред е соходящ, когато редицата от парциални суми на този ред е сходяща (виж раздела редици).
Съществуват различни критерий за сходимост: критерий на Коши (два броя), сравнителения критерий (по известен като принцип за сравняване на редове, който Мартос е демонстрирал), критерий на Даламбер, на Раабе-Дюамел и на Коши-Маклорен ( още наричан интегрален критерий на Коши). Абе с 2 думми, темата е много обширна, прочети си учебника.

[ptj]

По определение един ред е сходящ когато съществува неговата граница и тя е крайно число, т.е. единствена точка крайна точка на сгъстяване.

За да разберем кога е разходящ трябва да образуваме отрицанието на горното твърдение, т.е. реда е разходящ когато:
1.)има безкрайна точка на сгъстяване
2.) или повече от една точки на сгъстяване.

П.П. Съшествуват различни критерии за проверяване на горните условия (повечето вече са ти ги споменали).

[grav]

По определение един ред е сходящ когато съществува неговата граница и тя е крайно число, т.е. единствена точка крайна точка на сгъстяване.

Това не е така. Какво означава граница на ред и точка на сгъстяване на ред?! Има се предвид точно частичните суми. Горе вече беше написано.

[ptj]

Еквивалентни са.

[grav]

Кои са еквивалентни! Едното само ти го изпозваш и не си казал какъв му е смисъла.

[ptj]

[tex]b_n=\sum_{i=1}^{n}a_i[/tex]. Под сходимост на реда [tex]\sum_{i=1}^{\infty}a_i[/tex] се разбира точно сходимостта на редицата [tex]b_n[/tex]. Едно от възможните определения за "точка на сгъстяване" е число, във всяка произволно малка околност на което, се намира поне един член на редицата ([tex]b_n[/tex]).

[grav]

Това вече беше написано, какъв беше смисъла да пишеш за точка на сгъстяване на ред! И кои са тези две неща дето са еквивалентни, след като има само едно!?

[addeqna]

Priwet! как да изследвам за сходимост ред [tex]\sum_{1}^{\infty } (\frac{n+1}{ 2n+1} )^n[/tex] i za абсолютна и условна сходимост ред [tex]\sum_{1}^{\infty } (-1)^{n+1} (\frac{n^2}{ 4^n} )[/tex]

[stflyfisher]

Priwet! как да изследвам за сходимост ред [tex]\sum_{1}^{\infty } (\frac{n+1}{ 2n+1} )^n[/tex] i za абсолютна и условна сходимост ред [tex]\sum_{1}^{\infty } (-1)^{n+1} (\frac{n^2}{ 4^n} )[/tex]

Цък

[addeqna]

изследвам за област на сходимост ред [tex]\sum_{1}^{\infty } ((x^{n-1})(n-1) 3^{n-1})[/tex]
1. lim [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{3}[/tex]
при [tex]n \to \infty][/tex] Значи получавам радиус на сходимост [-1/3.1/3)

направих я без х границата и така с полученото 1/3
-1/3 заместих х и се получи [tex]\sum_{1}^{n } =n-1[/tex] [tex]\sum_{1}^{n } = (-1)^n(n-1)[/tex] не знам какъв е извода...

[Добромир Глухаров]

[tex]s_n=(-1)^n(n-1)[/tex]

Тази редица от парциални суми има две точки на сгъстяване ([tex]+\infty[/tex] и [tex]-\infty[/tex]), следователно няма граница, следователно при [tex]x=-\frac{1}{3}[/tex] редът е разходящ.

[addeqna]

[tex]s_n=(-1)^n(n-1)[/tex]

Тази редица от парциални суми има две точки на сгъстяване ([tex]+\infty[/tex] и [tex]-\infty[/tex]), следователно няма граница, следователно при [tex]x=-\frac{1}{3}[/tex] редът е разходящ.

а при [tex]x=\frac{1}{3}[/tex][tex]\sum_{1}^{n }=n-1[/tex] ? значи [-1/3;1/3)

[addeqna]

Може ли да ви питам за някои задачи?
как да изследвам за абсолютна и условна сходимост ред [tex]\sum_{1}^{\infty } (-1)^{n+1} (\frac{n^2}{ 4^n} )[/tex]

......за една подобна обaче получавам така [tex]\sum_{1}^{\infty } (\frac{(n+1)!}{ n2^{n}} )= \ge lim=1/0[/tex] по признака на Даламбер [tex]\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] не знам как да продължа