Интервал на сходимост на:

[Angelll]

Може ли да помогнете с интервала на сходимост на:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}n!}{n^{n}}(x+1)^{n}[/tex]

[martosss]

Прилагаш ratio test и получаваш
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}*(n+1)!*(x+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}*\frac{n^n}{(x+1)^n*2^n*n!}=\dots =2(x+1)\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex], чиято граница при [tex]n\right \infty[/tex] е [tex]\frac{2(x+1)}{e}[/tex]
Сега трябва да видиш кога [tex]\left|\frac{2x+2}{e}\right|<1\Right x\in\left(-\frac{e}{2}-1,\frac{e}{2}-1\right)[/tex]
И сега остава да разгледаш двата края на този интервал за да видиш дали за някой от тях редицата е сходима.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+s ... o+infinity
Това казва, че според limit теста сумата е разходяща, тоест като образуваш границата, тя е безкрайност.. ето я и нея
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+l ... E+infinity

Би трябвало оттук да заключиш, че и в другия случай редицата също няма да е сходима.
И окончателно търсеният интервал трябва да е [tex]x\in\left(-\frac{e}{2}-1,\frac{e}{2}-1\right)[/tex]
Поправи ме ако греша.

[Angelll]

Мерци много надявам се да не грешиш, защото не ги разбирам много много но това което си написал изглежда доста достоверно, бих те проверил но най-вероятно ще объркам някаде като се оттървавам от n при съкращенията

[WEBER]

Аз ти предлагам друг подход за упражнение. Включва критерия на Коши и формулата на Стирлинг, която е [tex]n!\approx (\frac{n}{e } )^n.\sqrt{2\pi n}[/tex], което е изпълнено за достатъчно големи значения на [tex]n[/tex]

[tex]\lim_{x\to\ \infty } \sqrt[n]{|u_{n}(x)|} =\lim_{x\to\ \infty }\frac{2\sqrt[n]{n!} }{n }|(x+1)|= \lim_{x\to\ \infty }\frac{2(n/e).\sqrt[2n]{2\pi n} }{n }|x+1|=\frac{2}{e }|x+1|<1[/tex]

Разбира се стигаме до същото модулно неравенство. Като го решиш получаваш областта на сходимост, където редът е абсолютно сходящ.

ПП Ще използвам случая да попитам как стои въпросът za равномерната сходимост на дадения ред. Имаше една теорема, която казва така: "Ако степенният ред [tex]\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}x_{0}^k[/tex] има радиус на сходимост [tex]R[/tex], то този ред е равномерно сходящ във всеки интервал от вида [tex][-c,c][/tex], където [tex]0<c<R[/tex]. Това означава ли, че е равномерно сходящ в интервала, който Марто е написал?