Два интеграла

[Jana]

Здравейте. Разгледах форума и виждам, че тук има доста добри математици. Мога ли да ви помоля за помощ при решаването на 2 интеграла.

[tex]\int_{}^{ }\frac{x^{5}}{x^{4}-8x^{2}+16 } dx[/tex]
и
[tex]\int_{}^{ }\frac{x^{5}}{(x^{2}-2x+2)^{2} } dx[/tex]


Много ви благодаря предварително!

[milki]

и двата се решават сходно
ето решението на първия: x^2 = u ==> 2xdx = du
[tex]\int_{}^{ } \frac{x^{5} }{ x^{4}-8x^{2}+16}dx = 0.5 \int_{}^{ } \frac{u^{2} }{ u^{2}-8u+16}du[/tex]
сега остава да разлагаме дробта [tex]\frac{u^{2} }{ u^{2}-8u+16}[/tex]
чрез делене, защото степента на числителя е по голяма от тази на знаменател
[tex]\frac{u^{2} }{ u^{2}-8u+16} = 1+ \frac{8u-16}{ u^{2}-8u+16} =1+ 8\frac{u-2}{ u^{2}-8u+16}[/tex]
разлагаме и останалата част:
[tex]\frac{u-2}{ u^{2}-8u+16} = \frac{u-2}{ (u-4) ^{2}} =\frac{A}{ (u-4)}+\frac{B}{ (u-4) ^{2}}[/tex]
намираме А и В като сравняваме чиалата пред съответните степени : A =1 and -2=-4A+B ==> B = 2
тоест:
[tex]0.5 \int_{}^{ } \frac{u^{2} }{ u^{2}-8u+16}du =0.5 \int_{}^{ }(1+ \frac{1}{ (u-4)}+8\frac{2}{ (u-4) ^{2}} )du=[/tex]

[tex]= 0.5u+4ln|u-4| - 8\frac{1}{ (u-4)} +c =0.5x^{2}+4ln|x^{2}-4| - 8\frac{1}{ (x^{2}-4)} + d[/tex]