Задача по метода на Фурие:

[Predatoralien]

Моля помогнете за следната задача:

Utt=Uxx в {0<x<∏, t>0}
U(0,t)=u(∏,t)=0 за всяко: t>0
U(x,0)=2sinx(2+cosx), 0<x<∏
Ut(x,0)=0, 0<x<∏

[matst]

Решението от вида [tex]u(x,t)=X(x)T(t)\not\eq 0[/tex] на задачата [tex]u''_{tt}=u''_{xx}[/tex]
с условия [tex]u(0,t)=u(\pi,t)=0[/tex] е
[tex]u_k(x,t)=(A_k\cos(kt)+B_k\sin(kt))\sin(kx)[/tex] при [tex]k=1,2,\dots[/tex].

Следователно, за решението [tex]u(x,t)[/tex] на първоначалната задача се получава
функция от вида
[tex]u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} (A_k\cos(kt)+B_k\sin(kt))\sin(kx)[/tex],
където за коефициентите се получава
първо: [tex]u(x,0)=2\sin(x)(2+\cos(x))\equiv 4\sin(x)+\sin(2x)=\sum_{k=1}^{\infty} A_k\sin(kx)[/tex]
и значи [tex]A_1=4[/tex], [tex]A_2=1[/tex], [tex]A_k=0[/tex] при [tex]k\ge 3[/tex]
второ: [tex]u'_t(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} (-kA_k\sin(kt)+kB_k\cos(kt))\sin(kx)[/tex] и
[tex]u'_t(x,0)=0=\sum_{k=1}^{\infty} kB_k\sin(kx)[/tex], и от тук - всяко [tex]B_k=0[/tex].

И така, [tex]u(x,t)=4\cos(t)\sin(x)+\cos(2t)\sin(2x)[/tex].

[susamcheto]

Да се развие в ред на фурие f(х) = х^2 в интервала (-п;п)
Въпроса ми е дали и 3те интеграла а0 аn i bn са с едни и сусхти граници от -п до п
Мерси предварително!!!

[mihail]

Границите са едни и същи [-п;п], f(x)=x^2 - четна функция, то bn=0

[susamcheto]

ок мерси