Интеграл от трансцедентна функция

[WEBER]

Да се реши интегралът:

[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{e^x + e^{-x} }[/tex]

...

Аз правя следните преобразувания, но не мога да довърша:

[tex]\int_{}^{ } \frac{\frac{dx}{2 } }{\frac{e^x + e^{-x}}{2 } } =[/tex]

[tex]= \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{1}{chx } dx[/tex] (забелязах, че [tex]\frac{e^x + e^{-x}}{2 } = chx[/tex]- косинус хиперболически)

[tex]\frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{ch^2 x - sh^2 x}{chx } dx = \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{ch^2 x}{chx } - \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{sh^2 x}{chx } dx = \frac{1}{2 } shx - \frac{1}{2 } \int_{}^{ } thx.shx dx[/tex]

...как да продължа? (отговорът е [tex]arc tge^x[/tex] )

[pipi langstrump]

Полагаш [tex]x = \ln t[/tex]

[tex]\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \int \frac{dt}{t\left(t + \frac{1}{t}\right)} = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \operatorname{arctg}t = \operatorname{arctg} e^x[/tex]

[Добромир Глухаров]

Не знам как може да се реши с хиперболични функции, но опитай да умножиш числителя и знаменателя на подинтегралната функция по [tex]e^x[/tex]:

[tex]\int_{}^{ } \frac{e^x}{1+e^{2x} } dx=\int_{}^{ } \frac{de^x}{1+(e^x)^2 } =arctg(e^x)+C[/tex]

[WEBER]

Полагаш [tex]x = \ln t[/tex]

[tex]\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \int \frac{dt}{t\left(t + \frac{1}{t}\right)} = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \operatorname{arctg}t = \operatorname{arctg} e^x[/tex]

Благодаря!

А по моя начин няма да стане...?

[WEBER]

Да се реши интегралът:

[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{e^x + e^{-x} }[/tex]

...

Аз правя следните преобразувания, но не мога да довърша:

[tex]\int_{}^{ } \frac{\frac{dx}{2 } }{\frac{e^x + e^{-x}}{2 } } =[/tex]

[tex]= \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{1}{chx } dx[/tex] (забелязах, че [tex]\frac{e^x + e^{-x}}{2 } = chx[/tex]- косинус хиперболически)

[tex]\frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{ch^2 x - sh^2 x}{chx } dx = \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{ch^2 x}{chx } - \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{sh^2 x}{chx } dx = \frac{1}{2 } shx - \frac{1}{2 } \int_{}^{ } thx.shx dx[/tex]

...как да продължа? (отговорът е [tex]arc tge^x[/tex] )

Реших да продължа това решение. Ако е интересно някому-може да хвъли едно око:

[tex]\frac{1}{2 } shx-\frac{1}{2 } I[/tex]

[tex]I=\int_{}^{ } thx.shx dx[/tex]

[tex]shx=t

dt=chxdx[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac{t^2}{t^2+1 } dt = \int_{}^{ } (1-\frac{1}{t^2+1 })dt[/tex]=[tex]\int_{}^{ } dt-\int_{}^{ } \frac{1}{t^2+1 }dt[/tex]

[tex]=t-arctgt+C[/tex]

[tex]I=shx-arctgx+C(shx)[/tex]

[tex]\frac{1}{2 } shx-\frac{1}{2 }(shx-arctgx(shx))+C=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2 } arctg(shx)+C[/tex]

Това получавам.