Производни на функцията arctgx/y е различна

[uchenik75]

Искам да попитам защо производните на функцията z=arctg[tex]\frac{x}{ y}[/tex] спрямо x и y са съответно:
[tex]\frac{y}{x^{2}+y^{2} }[/tex] и [tex]\frac{-x}{x^{2}+y^{2} }[/tex] ???
Моля Ви помогнете, за да го разбера веднъж завинаги това нещо

[uchenik75]

Производната на [tex]\frac{x}{ y}[/tex]=[tex]\frac{x'y-xy'}{ y^{2}}[/tex] Това равенство, ако го означа с (1)
То за [tex]d_{x}z[/tex] трябва да използвам от (1) онази част, в която се намира x' ,тоест да използвам само [tex]\frac{x'y}{ y^{2}}[/tex] и тогава [tex]d_{x}z[/tex]=[tex]\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2} }[/tex].[tex]\frac{x'y}{ y^{2}}[/tex] и след съкращение на [tex]y^{2}[/tex] и премахване на x' то [tex]d_{x}z[/tex]=[tex]\frac{y}{x^{2}+y^{2} }[/tex] ???
То за [tex]d_{y}z[/tex] трябва да използвам от (1) онази част, в която се намира y' ,тоест да използвам само [tex]\frac{-xy'}{ y^{2}}[/tex] и тогава [tex]d_{y}z[/tex]=[tex]\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2} }[/tex].[tex]\frac{-xy'}{ y^{2}}[/tex] и след съкращение на [tex]y^{2}[/tex] и премахване на y' то [tex]d_{y}z[/tex]=[tex]\frac{-x}{x^{2}+y^{2} }[/tex] ???

[milki]

не е точно така...

[tex]\frac{d}{dx } arctan \frac{x}{y } = [u = x/y ] = \frac{d(arctan u)}{du } \frac{du}{dx }[/tex]
.........................................
[tex]\frac{d(arctan u)}{du } = \frac{1}{1+u^{2} } =\frac{1}{1+\frac{x}{y } ^{2} }[/tex]
[tex]\frac{du}{dx } = \frac{1}{ y}[/tex]
..........................................
[tex]= \frac{1} {(1+\frac{x}{y } ^{2}) y } = \frac{1} {\frac{(x^2 + y^2)y}{y^2 }[/tex]

сега остава да го подредиш...
спрямо y е същото... (тоест правиш го по същия начин )

* вместо d трябжа да се пише знака за " непълна производна" но не го намерих

[uchenik75]

Защо [tex]\frac{du}{ dx}[/tex]=[tex]\frac{1}{y }[/tex], това не мога да разбера как се получава

[milki]

Има разлика м/у производна на f(x) и на f(x,y).
Ако правиш частична производна прямо x всичко останало се възприема като константи ...
Не съм много добра обясненията но погледни примерите тука :

http://annatomova.bravehost.com/ma2/karta.htm

или

http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative (първият пример е много ясен)