Задача от изпит

[mkmarinov]

Нека [tex]f(x)=\frac{x^4+5}{x^6+x^4+1}[/tex] и [tex]F(x)[/tex] е нейна примитвна.
Да се пресметне [tex]\lim_{x \to 0} \frac{F(2x)-F(x)}{x}[/tex]
Да се докаже, че [tex]\lim_{x \to \infty}(F(2x)-F(x))=0[/tex]
Интересувам се от формални решения, използващи нищо повече от дефиниции .

[kerry]

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(2x)-F(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(x+x)-F(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(0+x)-F(0)}{x}=F'(0)=f(0)=5[/tex]

[mkmarinov]

И аз го обмислях. Но "легален" ли е граничният преход само на половината места където се среща х?

EDIT:
Сетих се за нещо подобно, използващо теоремата на Лагранж (уж е позволена).
[tex]\exists c \in [x, 2x]: F'(c)=f(c)=\frac{F(2x)-F(x)}{2x-x}[/tex]. От друга страна, вземайки [tex]x \to 0[/tex] интервалът се стеснява до единствено число.

[drago]

Ако използваш теоремата за крайните нараствания(Лагранж) трябва да изискаш функцията да е диференцеруема в някаква околност на 0 и тази производна да е непрекъсната в 0, което в случая е така.
Но по принцип твърдението е вярно и само, ако ф-ята има производна в 0.

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(2x)-F(x)}{x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(2x)-F(0) + F(0) - F(x)}{x} =[/tex]

[tex]2 \lim_{x \to 0}\frac{F(2x)-F(0)}{2x} - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{F(x)- F(0)} {x} =[/tex]

[tex]= 2 F^'(0) - F^'(0) = F^'(0)[/tex].

[mkmarinov]

От това се нуждаех. Мерси!
Някакви идеи по второто подусловие?

[drago]

[tex]F(2x) - F(x) = \int_{x}^{2x} f(u)\, du < \int_x^{2x} \frac{2u^4}{u^6}\,du \,= ...[/tex]

[mkmarinov]

Много благодаря!
Сетих се и още едно нещо - пак с теоремата за крайни нараствания.
[tex]\exists c \in [x;2x] F(2x)-F(x)=xf'(c) \to 0[/tex]. Но това ще се формализира по-трудно от твоето .

[grav]

Може и така, макар, че е по-дълго. Разглеждаме границата

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}x(F(2x)-F(x))[/tex]

Полагаме [tex]G(x)=F(\frac1x)[/tex] и [tex]t=\frac1x[/tex]

Тогава

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}x(F(2x)-F(x))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{G(2t)-G(t)}t=G'(0)[/tex]

Това последното следва от първата част, а че въобще съществува и не е безкрайност от дадената функция.

[mkmarinov]

Има още малко да се доизпипа - никъде не е гарантирано, че G е непрекъсната в нулата. Дори нещо повече, ако G е непрекъсната в нулата, то означава че [tex]\lim_{x \to \infty}F(x)=\lim_{x \to -\infty}F(x)[/tex], което е равносилно на [tex]\lim_{x \to \pm \infty}F(x)=0[/tex] (т.к. F е нечетна, с разлика до константа). Което е по-силно от твърдението, което доказваме.

[drago]

Може и така, макар, че е по-дълго. Разглеждаме границата

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}x(F(2x)-F(x))[/tex]

Полагаме [tex]G(x)=F(\frac1x)[/tex] и [tex]t=\frac1x[/tex]

Тогава

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}x(F(2x)-F(x))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{G(2t)-G(t)}t=G'(0)[/tex]

Това последното следва от първата част, а че въобще съществува и не е безкрайност от дадената функция.

Малко по-различно става, понеже [tex]F(2x) = G(\frac{t}{2})[/tex] :

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}x(F(2x)-F(x))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{G(\frac{t}{2})-G(t)}{t} = ...[/tex]

[grav]

Малко по-различно става, понеже [tex]F(2x) = G(\frac{t}{2})[/tex] :

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}x(F(2x)-F(x))=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{G(\frac{t}{2})-G(t)}{t} = ...[/tex]

Опс, да.

@mkmarinov: Функцицията я разглеждаме само за положителни стойности на аргумента, и да, не съм написал подробностите, само идеята.

[mkmarinov]

Пак, съществуването на [tex]G(0)=\lim_{x \to 0^+}G(x)=\lim_{x \to +\infty}F(x)[/tex] е по-силно твърдение от [tex]\lim_{x \to \infty}(F(2x)-F(x))=0[/tex]

[student]

За да не пускам нова тема, ще пусна задачата тук, защото и тя е от изпит:

Представете [tex]f(x)=e^{x^3-9x}[/tex] като разлика на две растящи функции.

Благодаря предварително.

[Psychedelik]

Докажете:
[tex]arccos\sqrt{1-x^2}=arctgx/sqrt{1-x^2} При 0<x<1[/tex]
[tex](1/e^x)>1-x[/tex] При x<0
Да се намери лицето на:
[tex]y+x^2=5[/tex]
[tex]y+4x=0[/tex]
След като изобразим функциите стигаме до интеграла( не разбрах как да го направя определен, но отгоре трябва да е 5 а отдолу 0):
[tex]\int_{}^{ } -x^2+5dx + \int_{}^{ } 4xdx[/tex], правилно ли е това?

[Psychedelik]

Никой ли не може да реши тези задачи?