диференцируемост на функция

[josalinda]

g(x)=x^(2/5) Да се определят точките които е диференцируема. Моля ви да ми обясните подробно как се прави.Благодаря предварително

[mkmarinov]

Ейй, тоя изпит акъла ви взе!
ДМ на функцията е всяко х.
[tex]f'(x)=^{def} \lim_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \to \frac{y^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{2}{5}}}{y-x}=\frac{y^2-x^2}{(y-x)(\sqrt[5]{y^8}+\sqrt[5]{y^6x^2}+\sqrt[5]{y^4x^4}+\sqrt[5]{y^2x^6}+\sqrt[5]{x^8})}=\\=\frac{y+x}{\sqrt[5]{y^8}+\sqrt[5]{y^6x^2}+\sqrt[5]{y^4x^4}+\sqrt[5]{y^2x^6}+\sqrt[5]{x^8}}[/tex]
Когато [tex]x \ne 0[/tex], знаменателят е различен от 0 (сума на неотрицателни величини, които не са равни на 0) и производната е напълно определена. Остава да се разгледа производната за х=0. От дефиницията,
[tex]f'(0)=\frac{f(0+dx)-f(0)}{dx-0}=\frac{f(dx)}{dx}=\frac{dx^{\frac{3}{5}}}{dx}=\frac{1}{dx^{\frac{2}{5}}}=[\frac{1}{0}][/tex], което не е дефинирано.

[josalinda]

Мерси много

[josalinda]

А как разбра по какво да умножиш?Има ли някакво правило или трябва да си го измисляш ?

[mkmarinov]

Умножава се така, че числителят да се рационализира и след това да може да се отдели [tex]x-y[/tex] от него.
Трябва знаменателят в степента да стане 1. Тук е [tex]\frac{1}{5}[/tex] => "припомняш" си формулата за разлика на пети степени и допълваш до нея.

[ganka simeonova]

Мартине, задължително ли е да се реши задачата, като се ползва дефиницията за първа производна? Не е ли доста тромаво?

[mkmarinov]

Задачата е от изпит по Анализ. Там бих ползвал единствено дефиниции и нещо, което е доказвано в предишна задача на същия изпит .

[SyncCarryOn]

Не може ли просто да ползваме,че за f(x) = x^a:

[tex]\frac{x^{a} - x0^{a}}{x - x0} = \frac{(x-x0)(*)}{(x-x0) } = ax0^{a-1}[/tex]
Където * е там от формулата
И за [tex]\sqrt[5]{x^{2}}[/tex]
Производната е [tex]\frac{2}{5\sqrt[5]{x^{3}}[/tex] дефинирана във x≠0

Едит: в началото бях замести x0 със x вместо обратното.

[mkmarinov]

Не знам, пробвай

[mkmarinov]

11 задача от същия изпит
Да се докаже, че [tex]|g(y)-g(x)| \le |y-x| \forall x,y \in [1; +\infty)[/tex]
Когато х=у, имаме равенство и от двете страни.
БОО приемаме [tex]y>x => g(y)>g(x)[/tex]. Разкриваме модулите и делим на [tex]y-x>0[/tex]:
[tex]\frac{g(y)-g(x)}{y-x}=\frac{y^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{2}{5}}}{y-x}=\frac{y^2-x^2}{(y-x)(\sqrt[5]{y^8}+\sqrt[5]{y^6x^2}+\sqrt[5]{y^4x^4}+\sqrt[5]{y^2x^6}+\sqrt[5]{x^8})}=\\=\frac{y+x}{\sqrt[5]{y^8}+\sqrt[5]{y^6x^2}+\sqrt[5]{y^4x^4}+\sqrt[5]{y^2x^6}+\sqrt[5]{x^8}} < \frac{y+x}{\sqrt[5]{y^8}+\sqrt[5]{x^8}} \le \frac{x+y}{\sqrt[5]{x^5}+\sqrt[5]{y^5}}=1[/tex]
QED