Операционно смятане

[ferry2]

Здравейте, колеги. Изучавам операционно смятане и съм стигнал до темата за намиране на оригинал на функция по зададен образ и се появи един пример, който не разбирам. Ето го и него:

Намерете оригинала [tex]f(t)[/tex] на функцията [tex]F(p) = \frac{1}{p(p+1)^3}[/tex].

Решение:

Разлагаме рационалната функция [tex]F(p)[/tex] в сума от елементарни дроби. Имаме

[tex]F(p) = \frac{1}{p(p+1)^3} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{C}{(p+1)^2} + \frac{D}{(p+1)^3}[/tex].

С помощта на формулите [tex]A_k = \frac{F_1(p_k)}{F_2 \,'(p_k)},\, k = 1,\,2,\, \ldots,\, n[/tex] и

[tex]A_{kj} = \frac{1}{(n_k - j)!}\lim_{p \to p_k} [(p-p_k)^{n_k} F(p)]^{(n_k - j)},\, j=1,\,2,\,\ldots,\,n_k,\, k=1,\,2,\,\ldots,\,s[/tex] за коефициентите

намираме [tex]A=1,\,B=-1,\,C=-1,\,D=-1[/tex]. Следователно [tex]F(p)=\frac{1}{p(p+1)^3} = \frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} - \frac{1}{(p+1)^2} - \frac{1}{(p+1)^3}[/tex].

С помощта на формулата [tex]f(t) = \sum_{k=1}^{s } \sum_{j=1}^{n_k} \frac{A_{kj}}{(j-1)!}t^{j-1} e^{p_k t}[/tex] намираме [tex]f(t) = 1-e^{-t}-te^{-t}-\frac{1}{2}t^2e^{-t}[/tex].


Не ми е ясно как се прилагат формулите [tex]A_k = \frac{F_1(p_k)}{F_2 \,'(p_k)},\, k = 1,\,2,\, \ldots,\, n[/tex] и [tex]A_{kj} = \frac{1}{(n_k - j)!}\lim_{p \to p_k} [(p-p_k)^{n_k} F(p)]^{(n_k - j)},\, j=1,\,2,\,\ldots,\,n_k,\, k=1,\,2,\,\ldots,\,s[/tex] за намирането на коефициентите [tex]A,\,B,\,C,\,D[/tex]. Ако може да го разпишете по-подробно само този момент.

[martosss]

Не знам с тези граници как стоят нещата, но ето как се разлага на множители:
От
[tex]F(p) = \frac{1}{p(p+1)^3} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{C}{(p+1)^2} + \frac{D}{(p+1)^3}[/tex]
Като преведеш под общ знаменател получаваш
[tex]\frac{1}{p(p+1)^3} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{C}{(p+1)^2} + \frac{D}{(p+1)^3}=\frac{A(p+1)^3+Bp(p+1)^2)+Cp(p+1)+Dp}{p(p+1)^3}[/tex]
И сега казваш, че числителят на лявата страна трябва да е равен на числителят на дясната, тоест
[tex]1=A(p+1)^3+Bp(p+1)^2)+Cp(p+1)+Dp[/tex]
Сега на теория трябва да приравниш коефициентите пред съответните степени от двете страни(тоест свободният член от ляво 1 трябва да е равен на свободния член отдясно A - директно A=1, после пред [tex]p^1[/tex] отляво трябва да е равен на [tex]p^1[/tex] отдясно, тоест 0=3A+B+C+D, по същия начин за по-високите степени - 0=3A+2B+C и 0=A+B=0.
Принципно чрез тези връзки можеш да определиш коефициентите, тъй като имаш 4 уравнения с четири неизвестни.

Има и малко по-лесен метод:
Тъй като това трябва да е изпълнено за всяко р, можеш да заместиш някое, р(тоест използваш, че [tex]F(0)=F_1(0)[/tex], където F1 ти е полиномът с неизвестните АВСД), така че да си улесниш живота. Замества се най-вече с корените на знаменателя - р=0 и р=-1:
1)Заместваш р=0 и получаваш [tex]A(0+1)^3=1\Right A=1[/tex]
2)Заместваш р=-1 и получаваш [tex]D*(-1)=1\Right D=-1[/tex]
Сега остава да намериш В и С. Тях намираме от горните връзки, като използваме примерно A+B=0 и 0=3A+2B+C.

Това е от мен.

Но в твоите формули използват разни производни и този j, които не мога да разбера и аз откъде идват и как се разписват :S Мисля си, че трябва да има сума по k и по j, която са изпуснали някъде(както при функцията f(x) има две вложени суми).

[grav]

Като продължение на това което martosss нарича по-лесен начин. След като си заместил вече с 0 и -1, намираш производни и заместваш с -1. От тук идват и формулите.

[ferry2]

Мартос, благодаря за помощта. Този начин за намиране на коефициентите ми е известен. Мен ме интересуваше конкретните формули как се прилагат. А формулите са така както съм ги написал. Ето го и източника http://www.fmi-plovdiv.org/GetResource?id=389 на страници 37 и 38.

[ferry2]

Разбрах как се прилагат формулите [tex]A_k = \frac{F_1(p_k)}{F_2 \,'(p_k)},\, k = 1,\,2,\, \ldots,\, n[/tex] и [tex]A_{kj} = \frac{1}{(n_k - j)!}\lim_{p \to p_k} [(p-p_k)^{n_k} F(p)]^{(n_k - j)},\, j=1,\,2,\,\ldots,\,n_k,\, k=1,\,2,\,\ldots,\,s[/tex] за намирането на коефициентите [tex]A,\,B,\,C,\,D[/tex].

За първата формула [tex]k=1,\, p_1=0 \Rightarrow A_1=\frac{1}{(p+1)^3+3p(p+1)^2}=1[/tex].

За втората формула имаме [tex]j=1,\,2,\,3 \Rightarrow A_{11}=\frac{1}{2!}\lim_{p \to -1} \left[\cancel{(p+1)^3} \cdot \frac{1}{p\cancel{(p+1)^3}} \right]\,'' = \frac{1}{2} \lim_{p \to -1}\left( \frac{2}{p^3}\right) = -1[/tex] и т. н. за другите коефициенти. Това, което бърках е, че си мислех, че [tex](n_k - j)[/tex] е степен, а то било реда на производната.