Граница на редица от граници

[pipi langstrump]

Означаваме
[tex]l_1 = \lim_{x\to\infty}x\left(e - \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x \right)[/tex]
[tex]l_2 = \lim_{x\to\infty}x\left(x\left(e - \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x \right) - l_1\right)[/tex]
[tex]l_3 = \lim_{x\to\infty}x\left(x\left(x\left(e - \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x \right) - l_1\right) - l_2\right)[/tex]
...
[tex]l_n = \lim_{x\to\infty}x\left(x\left(x\left(x...x\left(x\left(x\left(e - \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x \right) - l_1\right) - l_2\right) - ... -l_{n-2}\right) -l_{n-1}\right)[/tex]

Намерете [tex]\lim_{n\to\infty }l_n[/tex]

[pipi langstrump]

Решете по-лесната задача:

[tex]l_1 = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{sin x}{x} - 1}{x}[/tex]
[tex]l_2 = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{\frac{sin x}{x} - 1}{x} - l_1}{x}[/tex]
...
Докажете, че [tex]l_n[/tex] е коефициентът [tex]c_n[/tex] в развитието на функцията sin x в ред на Маклорен [tex]\sum_{n = 0}^{\infty } c_nx^n[/tex] и използайте сходимостта му за всяко х. По същия метод решете и горната задача, като прибегнете до подходяща смяна на променливата.