Две лесни, но забавни(горе-долу)

[seppen]

1. Да се определят a и b, ако се знае, че:

[tex]\normal \lim_{x \to 1} \frac{ln^2 (2-x)}{x^2+ax+b}=1[/tex]

2. Да се докаже:

[tex]\normal \sum_{k=0}^{n} kx^{k-1}=\frac{n x^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2} \\ x \ne 1[/tex]

[Apocalyp5e]

2.
[tex]\frac{n x^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2} =\frac{n x^n(x-1)- (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)}{(x-1)^2} = \\ = \frac{x^n - x^{n-1} + x^n - x^{n-2} + ... + x^n - 1}{x-1} = \\ =\frac{x^{n-1}(x-1)+x^{n-2}(x-1)(x+1)+x^{n-3}(x-1)(x^2+x+1)+...+(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)}{x-1} = \\ = nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+...+1=\sum_{k=0}^n kx^{k-1}[/tex]