Граница на функция(Лопитал)

[ironsteel]

Здравейте. Имам проблем със следната граница

[tex]\normal \lim_{x \to 0} (\frac{sinx}{x })^{\frac{1}{arcsin^{2}x }}[/tex]

Според мойте разсъждения:

[tex]\normal \lim_{x \to 0} (\frac{sinx}{x })^{\frac{1}{arcsin^{2}x }}=[0^{0}]=[/tex]

Като логаритмувам става:

[tex]e^ {\lim_{x \to 0} \frac{1 }{ arcsin^{2}x} ln\frac{sinx}{x } } = [0.\infty]=[/tex]
[tex]e^ {\lim_{x \to 0} \frac{ln\frac{sinx}{x } }{ arcsin^{2}x}}=[\frac{0}{ 0}][/tex]

Стигам до тук ,мога да представя логаритъма така :

[tex]e^ {\lim_{x \to 0} \frac{lnsinx - lnx}{arcsin^{2}x }[/tex]


Ама след тва нещо не знам как ще стане с еквивалентни безкрайно малки или с производни ,нещо не мога да го сметна.
Та молбата ми е да ми покажете как се постъпва от там нататък?
Може да греша при неопределеностите,поправете ме ако е така.
Благодаря ви предварително.

[seppen]

Първата неопределеност ти е [tex]\normal 1^\infty[/tex].

Точно с еквивалентните б.м.
[tex]\normal \ln(1+\alpha (x)) \sim \alpha (x)[/tex]
[tex]\normal \arcsin(\alpha (x)) \sim \alpha (x)[/tex]
при [tex]\normal x \to x_0 \; : \; \alpha (x) \to 0[/tex]

[tex]\normal \ln\(1+\(\frac{\sin x}{x}-1\)\) \sim \frac{\sin x}{x}-1[/tex]

Ще стигнеш до [tex]\normal \frac{\sin x - x}{x^3}[/tex] и прилагаш Лопитал.

[ironsteel]

Първата неопределеност ти е [tex]\normal 1^\infty[/tex].

Точно с еквивалентните б.м.
[tex]\normal \ln(1+\alpha (x)) \sim \alpha (x)[/tex]
[tex]\normal \arcsin(\alpha (x)) \sim \alpha (x)[/tex]
при [tex]\normal x \to x_0 \; : \; \alpha (x) \to 0[/tex]

[tex]\normal \ln\(1+\(\frac{\sin x}{x}-1\)\) \sim \frac{\sin x}{x}-1[/tex]

Ще стигнеш до [tex]\normal \frac{\sin x - x}{x^3}[/tex] и прилагаш Лопитал.

Имам няколко въпроса.
За това

[tex]\normal \ln\(1+\(\frac{\sin x}{x}-1\)\)[/tex]

как го получавам?

Може ли да стане и при други случаи със ln ,но от нещо друго,и когато го пробразувам го прилагам само към числителя или там където го имам?

И за производната на

[tex]\normal \frac{\sin x - x}{x^3}[/tex]

това е производна на частно нали ?

И става

[tex]\frac{(sinx-x)'.x^{3} - (sinx-x).(x^{3})'}{x^{6} }=[/tex]

[tex]=\frac{(cosx-1).x^{3} - (sin-x).3x^{2}}{x^{6} }[/tex]

Но не знам как да го опростя ?

Мерси отново за помоща и търпението.

[seppen]

Като имаш неопределеност 0/0 може да ползваш таблицата на еквивалентните б.м.(и в числител, и в знаменател) и Лопитал.

При това с ln - стремиш се да го докараш до вида ln(1+a(x)). И като заместиш с x0, в случая x0=0 трябва a(x) да стане 0.
Понеже sinx/x=1(защото sinx~x при x->0), прибавяме и изваждаме 1, за да получим ln(1+(sinx/x-1)).
Това в скобите става 0. Затова можем да използваме формулата.

Вобще при всичките тия се стремиш да го докараш до формулата.
Пък за Лопитал по правило имаме, че lim f/g = lim f'/g'. Така че не търсиш производна на частно, а поотделно на числителя и на знаменателя.
[tex]e^{\lim_{x\to 0}{\frac{\sin x - x}{x^3}}} =e^{0/0}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{\cos x - 1}{3x^2}}=e^{\lim_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos x)}{3x^2}}[/tex]

Пак формула [tex]\normal 1 - \cos\alpha (x) \sim \frac{1}{2} \alpha (x) ^2[/tex]
Отговорът е [tex]e^{-\frac{1}{6}}[/tex]

[ironsteel]

Благодаря отново .