Как да намеря лице на фигура чрез Риманов интеграл?

[Снежанка]

Много се извинявам предварително, защото на някой може да му се стори елементарно. Но аз сега прохождам.
Задачата ми е:
Пресметнете лицата на равнинните фигури описани от параболите:
а) y=2x^{2} ; y=1+x^{2}
б) y=x^{2} ; x=y^{2}

[Anubis]

Ша ти помогна само с първата, защото другата се решава аналогично, .

1. Намираш пресечните точки на двете линии, които ти задават границата на твоята област (в случая

двете параболи). Това става, като решиш уравненията на линиите.

[tex]\begin{array}{||} y = 2x^2 \\ y = 1+x^2 \end{array} \Rightarrow 2x^2 = 1+x^2 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x_{1}=1, \, x_{2}=-1[/tex]

2. Гледаш коя от двете графики е образно казано горна и коя е долна, т. е. гледаш коя от двете графики лежи над другата (това е много важно и те съветвам да го запомниш по начина, по който ти го казвам, без някаква сложна математическа терминология).

От картинката се вижда, че в интервала [tex][-1; \, 1][/tex] червената линия лежи под зелената, т. е. [tex]y=2x^2[/tex] е долната графика, а [tex]y=1+x^2[/tex] е горната.

3. Смяташ определения интеграл [tex]\int_{a}^{b} \left ( \varphi(x) - \psi(x) \right ) \operatorname{d}x[/tex], където [tex]a, \, b[/tex] са ти интеграционните граници, а [tex]\varphi(x), \, \psi(x)[/tex] са ти съответно горната и долната графика (запомни, че винаги от функцията, съответстваща на

горната графика, вадиш тази, съответстваща на долната).

[tex]\int_{-1}^{1} \left ( 1+x^2 - 2x^2 \right ) \operatorname{d}x = \int_{-1}^{1} \left ( 1-x^2\right ) \operatorname{d}x = \int_{-1}^{1} \operatorname{d}x - \int_{-1}^{1} x^2 \operatorname{d}x = x|_{-1}^{1} - \frac{x^3}{3} |_{-1}^{1} = 2-\frac{1}{3}.2 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}[/tex]

П. П. Ако нещо те притеснява или не разбираш, казвай, нали, .

[Anubis]

Понеже съм добряк, ша ти реша и другата, там има нещо по-особено, за което искам да се усетиш и да

запомниш, . А то е: [tex]y=x^2 \Rightarrow y \ge 0; \quad x=y^2 \Rightarrow x \ge 0[/tex].

Тогава [tex]|y|=\sqrt{x} \Rightarrow y=\sqrt{x}, \quad y \ge 0[/tex]. Решаваш съвместно уравненията на двете линии.

[tex]\begin{array}{||} y=x^2 \\ y = \sqrt{x} \end{array} \Rightarrow x^2 = \sqrt{x} \Rightarrow x^4 = x \Rightarrow x(x^3-1)=0 \Rightarrow x_{1}=0, \quad x_{2}=1[/tex]

[tex]S = \int_{0}^{1} \left ( \sqrt{x}-x^2 \right ) \operatorname{d}x = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \operatorname{d}x - \int_{0}^{1} x^2 \operatorname{d}x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} |_{0}^{1} - \frac{1}{3}x^3 |_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}[/tex]

[Гост]

Много много благодаря!!!