Една приятна граница

[pipi langstrump]

Пресметнете границата [tex]\lim_{n\to\infty} n \left(sin 1 - \frac{1}{n} \sum_{\nu=1}^{n} cos{\frac{\nu}{n} }\right)[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ако обърнем внимание на определението за интегрална сума, то директно
[tex]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n} cos {\frac{k}{n}} =\int_{0}^{1}cosxdx=sin1[/tex].
За съжаление търсената граница така не ще открием непосредствено, поради появата на неопределеност от вида [tex][\infty.0][/tex].

[pipi langstrump]

Извинявам се, има пропусната една буква.
Горното решение не е вярно, даже и без пропуснатата буква

[mkmarinov]

sin1 ли е отговорът?

[pipi langstrump]

sin1 ли е отговорът?

Не знам. Напиши решение.

[mkmarinov]

[tex]L=\lim_{n \to \infty} n(sin1-\frac{1}{n}\sum_{1}^{n} \cos\frac{i}{n})=\lim_{n \to \infty} \frac{sin1-\frac{1}{n}\sum_{1}^{n} \cos\frac{i}{n}}{\frac{1}{n}}[/tex]
Където ползвам Лопитал. За по-лесно:
[tex]S(n)=\sum_{1}^{n} \cos\frac{i}{n} \\S'(n)=\frac{1}{n^2}\sum_{1}^{n}i \sin\frac{i}{n}[/tex]
Производната на числителя я намирам:
[tex](-\frac{1}{n}S)'=-(-\frac{1}{n^2}S+\frac{1}{n}S')=\frac{1}{n^2}S-\frac{1}{n^3}\sum_{1}^{n}i \sin\frac{i}{n}[/tex]

[tex]L=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}S-\frac{1}{n^3}\sum_{1}^{n}i \sin\frac{i}{n}}{-\frac{1}{n^2}}=-S=-sin1[/tex]

[pipi langstrump]

Нещо не ми е ясна последната граница. Ще я напишеш ли по-подробно?

[mkmarinov]

Грешна е . Видях 1/n и веднага реших че клони към нула. Би трябвало да е по-скоро:
[tex]L=-\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}(S-\frac{1}{n} \sum_{1}^{n}i\sin\frac{i}{n})}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n \to \infty}(-S+\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}i\sin\frac{i}{n})=\lim_{n \to \infty}\sum_{1}^{n-1}\frac{i}{n}\sin\frac{i}{n}[/tex]
(Тук замествам S със sin1 и ползвам, че последният член на тази сума е sin1).

[pipi langstrump]

Пак си в грешка. Разгледай хубаво всичко и чак тогава пиши. И ако обосновеш използване на Лопитал при прекъсната за всяко цяло число функция, също ще е добре. Има резон в използването на Лопитал тук (според мен), но той трябва да се обоснове.

За да не стане темата 10 страници, ще пиша отново само ако видя правилно решение със съответния отговор.
А той е [tex]\sin^2{\frac{1}{2}} = \frac{1 - cos 1}{2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Първо откриваме[tex]\sum_{k=1}^{n}cos {\frac{k}{n }}=\frac{sin(1+\frac{1}{2n })-sin(\frac{1}{2n})}{2nsin\frac{1}{2n} }[/tex]. ( при необходимост ще съобщим различни начини)
След това ще използваме дискретния аналог на основната граница [tex]\lim_{x\to\0}\frac{sinx}{x}=1[/tex] .
Когато [tex]x=\frac{1}{4n }[/tex] съществува границата [tex]\lim_{n\to\infty }2nsin\frac{1}{4n }=\frac{1}{ 2}[/tex], а също и границата [tex]l_{2}=\lim_{n\to\infty }2nsin\frac{1}{2n }=1.[/tex]
Явно е също, че [tex]\lim_{n\to\infty }cos(1+\frac{1}{4n })=cos1.[/tex]
След почленно умножение [tex]\lim_{n\to\infty }2nsin\frac{1}{4n }cos(1+\frac{1}{4n })=\frac{1}{ 2}cos1.[/tex]
Представяме произведението отляво - във вид на сбор
[tex]\lim_{n\to\infty }n(sin1-sin(1+\frac{1}{2n }))=-\frac{1}{ 2}cos1.[/tex]
Поставяме в знаменателя на втория синус границата [tex]l_{2}[/tex] (имаме право, т.к. е също при [tex]n\to\infty[/tex]) и разкриваме скобите - в знаменателя на второто събираемо [tex]n[/tex] се съкращава .
[tex]\lim_{n\to\infty }(nsin1-\frac{sin(1+\frac{1}{2n })}{2sin(\frac{1}{2n}) }) =-\frac{1}{ 2}cos1.[/tex]
Добавяме [tex]\frac{1}{2}[/tex] и изнасяме отново [tex]n[/tex] пред скоби.
[tex]\lim_{(n\to\infty }n(sin1-\frac{sin(1+\frac{1}{2n })}{2nsin(\frac{1}{2n}) }+\frac{1}{2n}))=\frac{1}{2}-\frac{1}{ 2}cos1.[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty }n(sin1- \frac{sin(1+\frac{1}{2n })-sin(\frac{1}{2n})}{2nsin\frac{1}{2n} })=\frac{1}{2}-\frac{1}{ 2}cos1.[/tex]
И според това, с което започнахме - границата е открита.

[pipi langstrump]

Тая акробатика дето я правиш едва ли на някой е станала ясна, но щом го получаваш, сигурно смяташ вярно. Получаваш плюсче