Задача от Гама- и Бета-функции

[Martin Nikovski]

[tex]\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^n}}=?[/tex], [tex]n>1[/tex] е параметър.
Благодаря!

[mkmarinov]

В какъв вид да се представи? Ако трябва само да се изрази чрез бета функцията се получава
[tex]\frac{1}{n}B(\frac{1}{n}, \frac{n-1}{n})[/tex].

Но ми изглежда прекалено лесно условие .

[Martin Nikovski]

Лесно е, разбира се, оправих се... Благодаря все пак за отговора!

[ferry2]

Можеш да напишеш как си решил задачата. Така един ден някой ако търси информация по подобен проблем ще може да го види, а не да пуска нова тема .

[Martin Nikovski]

Ето моето решение:

[tex]\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^n}}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{x\sqrt[n]{\frac{1}{x^n}-1}}=I[/tex]
Полагаме: [tex]t=\frac{1}{\frac{1}{x^n}-1}[/tex], откъдето [tex]\frac{1}{x^n}-1=\frac{1}{t}[/tex], откъдето [tex]x=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{t}}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(\frac{t}{t+1}\right)^{\frac{1}{n}}[/tex]
[tex]dx=\frac{1}{n}\left(\frac{t}{t+1}\right)^{\frac{1}{n}-1}.\frac{\cancel{t}+1-\cancel{t}}{\left(t+1\right)^2}dt=\frac{1}{n}.\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{\left(t+1\right)^{\frac{1}{n}+1}}dt[/tex]
[tex]x=0\to[/tex][tex]t=0[/tex], [tex]x=1\to[/tex][tex]t=\infty[/tex]
[tex]I=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(\frac{t}{t+1}\right)^{\frac{1}{n}}}.t^{\frac{1}{n}}.\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{\left(t+1\right)^{\frac{1}{n}+1}}dt=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{\left(t+1\right)^{\frac{1}{n}+\left(1-\frac{1}{n}\right)}}dt=\frac{1}{n}B\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}.\frac{\cyr{G}\left(\frac{1}{n}\right)\cyr{G}\left(1-\frac{1}{n}\right)}{\cyr{G}\left(1\right)}=\frac{1}{n}.\frac{\pi}{sin(\frac{\pi}{n})}=\frac{\pi}{nsin(\frac{\pi}{n})}[/tex]

[mkmarinov]

Ето го моето:
[tex]x=u^{\frac{1}{n}}[/tex]
[tex]dx=\frac{1}{n}u^{\frac{1}{n}-1}du[/tex]
Границите за [tex]u[/tex] остават същите и получаваме
[tex]\frac{1}{n}\int_0^1 u^{\frac{1}{n}-1}(1-u)^{-\frac{1}{n}}du=\frac{1}{n}\int_0^1 u^{\frac{1}{n}-1}(1-u)^{\frac{n-1}{n}-1}du=^{def} \frac{1}{n}B(\frac{1}{n}, \frac{n-1}{n})[/tex].
Но магиите относно изчисляването на гама функцията не ги знаех .

[Martin Nikovski]

Ама бива ли да съм толкова ***? Какво го въртя толкова...
А иначе магиите са хубави...