интеграл който ме затруднява

[Гост]

zada4i.jpg (33.29 KiB) Прегледано 322 пъти

[/img] 3-та задача моля помогнете за този интеграл

[Гост]

потърси повече обяснения от преподавател, първата задача е проста, но втората и третата задачи изискват повече знания, а пък четвъртата е също проста, но с частни производни, т.е като първата, но един път приемаш едното за константа, после другата променлива е константа. Теорията е малко от училищния материал-растяща и намаляваща функция, а пък за смяна на променливите при интегрално смятане-не е трудно, но се иска малко обяснение

[Anubis]

[tex]\int_{1}^{2}\frac{x^2}{2x^2+3} \operatorname{d}x = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2x^2}{2x^2+3} \operatorname{d}x = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2x^2+3-3}{2x^2+3} \operatorname{d}x[/tex]

Сега разделяме на два интеграла.

[tex]\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{2x^2+3}{2x^2+3}\operatorname{d}x - \frac{1}{2}.3\int_{1}^{2}\frac{1}{2x^2+3}\operatorname{d}x = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\operatorname{d}x-\frac{3}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{2x^2+3}\operatorname{d}x[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\operatorname{d}x = \frac{1}{2}.x|_{1}^{2} = \frac{1}{2} (2-1) \Rightarrow \fbox{\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\operatorname{d}x = \frac{1}{2}}[/tex]

[tex]\frac{3}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{2x^2+3}\operatorname{d}x = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{3 \left ( 1+\frac{2x^2}{3} \right ) }\operatorname{d}x = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{1+ \left ( \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3}} \right )^2 }\operatorname{d}x = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \int_{1}^{2}\frac{1}{1+ \left ( \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3}} \right )^2}\operatorname{d} \left ( \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3}} \right )[/tex]

Ние знаем, че [tex]\int \frac{1}{1+s^2} \operatorname{d}s = \arctan s[/tex], тогава [tex]\fbox{\frac{3}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{2x^2+3} \operatorname{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \left ( \arctan \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \arctan \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right )}[/tex].

От двете оградени неща си сглобяваш това, което ти трябва.

[Anubis]

[tex]\int{x \ln x}\operatorname{d}x = \int{\ln x}\operatorname{d} \left ( \frac{x^2}{^2} \right ) = \frac{x^2}{2} \ln x - \int{\frac{x^2}{2}} \operatorname{d} \left ( \ln x \right ) = \frac{x^2}{2} \ln x - \int{\frac{x^2}{2}.\frac{1}{x}}\operatorname{d}x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2}\int{x} \operatorname{d}x =[/tex]

[tex]= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2}.\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} \left ( \ln x - \ln \sqrt{e} \right ) = \frac{x^2}{2} \ln \frac{x}{\sqrt{e}}[/tex]

[Гост]

Благодаря много и за двете решения, но с 2-ра задача се справих и сама.Мн мн благодаря