Неопределен интеграл с e^x

[Hannibal]

[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{ e^{2x} + e^{-2x} + 2} dx \cyr{, kato izpolzvam, che (1)} \int_{}^{ } \frac{1}{e^{2x} }dx=-\frac{1}{2 }e^{-2x} \\ \cyr{ togava integrala stava }= \int_{}^{ } \frac{1}{{ \left( e^{x} + \frac{1}{ e^x} \right) }^2 } dx=\int_{}^{ } \frac{1}{e^{2x}{ \left(1 + \frac{1}{ e^{2x}} \right) }^2 } dx= \cyr{kato izpolzvame (1) } \\ -\frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{1}{ \left(1 + \frac{1}{ e^{2x}} \right)^2 } d \left(1 + \frac{1}{ e^{2x}} \right)= -\frac{1}{2 } \int_{}^{ } { \left(1 + \frac{1}{ e^{2x}} \right) }^{-2} d \left(1 + \frac{1}{ e^{2x}} \right)= +\frac{1}{2 }\frac{1}{ \left( \frac{1}{e^{2x} }+1\right) }= \frac{1}{2 }\frac{e^{2x}}{\left(e^{2x}+1\right)} \\\cyr{No otgovora e s "-" i chislitelyat ne e tozi, ko{\u}to az poluchavam ami e 1}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Eто решението.
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{e^{2x}+2+e^{-2x} }dx=\int_{}^{ } \frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^{2} }dx=\frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^{2} }d2x=\frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{1}{(e^{2x}+1)^{2} }de^{2x}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{1}{(e^{2x}+1)^{2} }d(e^{2x}+1)=-\frac{1}{2 } (e^{2x}+1)^{-1}+C[/tex]
Грешката в твоето решение е, че при използване на иначе верния интеграл (1) има смяна на променливата, при която се появява един множител (незабелязан от теб).

[Hannibal]

Благодаря много за решението, но все още не разбирам къде ми е грешката можеш ли малко по-подробно да разясниш, че това е основно нещо, а аз не мога да го проумея къде го бъркам.

[Knowledge Greedy]

Без да искам съм те заблудил(и себе си също) относно множителя. Твоят отговор е също верен. Просто се различава от моя с константа.
Ето защо, когато пишеш отговора на неопределен интеграл - не забравяй все пак константата С.

[Hannibal]

Е добре каква ще е таз константа,че чак се сменя знака на интеграла и има [tex]e^{2x}[/tex]в повече. Сигурен ли си в това, което казваш?

[Knowledge Greedy]

ОК - събери директно моя отговор с твоя и кажи какво получаваш ?

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{1}{2 } \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}-(-\frac{1}{2 } \frac{1}{e^{2x}+1})=\frac{1}{2}[/tex]
Ето я прословутата константа, която отличава нашите две решения.
Ако трети се намеси със свое решение - друг отговор, то и той ще се отличава от нашите с по една константа, събираемо

[Hannibal]

ОК мерси много. Безкрайно съм ти задължен.