x^3 - 3i = 0

[Гост]

да се пресметне:
(2+2i)/√3 - i)¹¹

решете уравнението:
x³ - 3i = 0

ако може някой да помогне, ще съм много благодарен

[Knowledge Greedy]

11 -тата степен е с основа, която се получава от частното на числата [tex]2sqrt{2}z[/tex] и[tex]w[/tex]
[tex]z=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2 }+\frac{\sqrt{2}}{2 }i)[/tex] и [tex]w=2(\frac{\sqrt{3}}{2 }-\frac{1}{2 }i)[/tex]
Представяме всяко от тях в тригонометричен вид: [tex]z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4 }+i sin\frac{\pi}{4 })[/tex]
и [tex]w=2(cos\frac{11\pi }{6 }+i sin\frac{11\pi}{6 })[/tex]
Преди да повдигнем на 11 степен разделяме [tex]\sqrt{2}\frac{z}{w }=\sqrt{2}(cos\frac{5\pi }{6 }+i sin\frac{5\pi}{6 })[/tex]
(Добавени са периоди към аргументите , за да се получи по-малък аргумент.)
Окончателно [tex](\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i })^{11}=(\sqrt{2})^{11}(cos\frac{55\pi }{6 }+i sin(\frac{55\pi}{6 })[/tex]
[tex](\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i })^{11}=32(\sqrt{2})(cos\frac{7\pi }{6 }+i sin\frac{7\pi}{6 })[/tex]
Отговор : [tex]-16(\sqrt{6}+\sqrt{2})[/tex]

[math10.com]

То това е принципа на решение , но нещо не разбрах как при:

[tex]z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4 }+i sin\frac{\pi}{4 })[/tex] и [tex]w=2(cos\frac{11\pi }{6 }+i sin\frac{11\pi}{6 })[/tex]

от [tex]\frac{\sqrt{2}z}{w}[/tex] получи [tex]\sqrt{2}(cos\frac{5\pi }{6 }+i sin\frac{5\pi}{6 })[/tex]

не е ли [tex]\frac{\sqrt{2}z}{w}=(cos\frac{5\pi }{12 }+i sin\frac{5\pi}{12 })[/tex]

[Knowledge Greedy]

Да, прав си . Благодаря!
Но модулът на числото остава [tex](\sqrt{2})^{11}.[/tex]
Така [tex](\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i })^{11}=(\sqrt{2})^{11} (cos{\frac{55\pi }{12 }}+isin\frac{55\pi }{12 } ).[/tex]
[tex](\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i })^{11}=32\sqrt{2} (cos{\frac{7\pi }{12 }}+isin\frac{ 7\pi }{12 } ).[/tex]
За да преминем към запис с радикали, ще се наложи да използваме и формулите за понижаване на степента
[tex]cos^2\varphi =\frac{1}{2}(1+cos2\varphi )[/tex] и [tex]sin^2\varphi =\frac{1}{2}(1-cos2\varphi ).[/tex] При [tex]\varphi=\frac{\pi }{ 12}[/tex]
[tex]cos{\frac{\pi }{12 }}=\frac{1}{2 }\sqrt{2+\sqrt{3} }[/tex] и [tex]sin{\frac{\pi }{12 }}=\frac{1}{2 }\sqrt{2-\sqrt{3} }.[/tex]
И отговорът на задачата се получава: [tex]-16\sqrt{2} (\sqrt{2+\sqrt{3} }+\sqrt{2-\sqrt{3} }).[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]arg{ i}=\frac{\pi }{2 }[/tex]
Ето защо [tex]3i=3(cos({\frac{ \pi }{2 }}+2k\pi) +isin(\frac{ \pi }{2 }+2k\pi))[/tex]
Очакваме [tex]x[/tex] от вида [tex]x=\sqrt[3]{3} (cos(\frac{\frac{\pi }{2} +2k\pi }{3 } )+isin(\frac{\frac{\pi }{2} +2k\pi }{3 } )).[/tex]
Явно [tex]r=\sqrt[3]{3},[/tex] и при [tex]k=0,k=1[/tex] и при [tex]k=2[/tex] получаваме трите различни корена на уравнението:
[tex]x_{1}=\frac{\sqrt[3]{3} }{2 }(\sqrt{3}+i)[/tex]
[tex]x_{2}=-i\sqrt[3]{3}[/tex]
[tex]x_{3}=\frac{\sqrt[3]{3} }{2 }(1+i\sqrt{3})[/tex]