Търсят се корените на следния израз...

[Emsss777]

Здравейте!
Искам да попитам, как могат да се намерят корените на следния израз с комплексни числа?

[tex]\sqrt{3+\sqrt{3i} }[/tex]

Брагодаря Ви предварително!

[Knowledge Greedy]

Задачата не е подходяща за смятане на ръка, т.е. не е подходяща като учебен пример.
Получен с електронен изчислител отговор [tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }\approx 2,0765-0,2949i[/tex]

Пряко решение.
С формулата на Моавър от [tex]i =cos {\frac {\pi }{2}} + i sin{\frac{\pi }{2}}[/tex]

получаваме
[tex]\sqrt{i} =cos {\frac {\pi }{4}} + i sin{\frac{\pi }{4}}[/tex]

Така [tex]\sqrt{3i} =3 \frac {\sqrt{2} }{2}(1+i)[/tex]

За цялата подкоренна величина имаме
[tex]3+\sqrt{3i} =3+3 \frac {\sqrt{2} }{2}(1+i)=3 \frac {\sqrt{2} }{2}(1+\sqrt{2}+i)[/tex]

Модулът на комплексното число в скобите е [tex]\sqrt{(1+\sqrt{2})^2+1^2} =\sqrt{4+2\sqrt{2} }[/tex]

Така цялата подкоренна величина става [tex]3\sqrt{1+\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{2} }{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}+\frac{1}{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}i
\end{pmatrix}[/tex]

Полагаме числата [tex]\frac{1+\sqrt{2} }{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}=cos\varphi[/tex] и [tex]\frac{1}{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}=sin\varphi[/tex]
За това имаме основания, тъй като квадратите им са със сбор [tex]1[/tex] - виж получаването на модула по-горе.

Отново използваме формулата на Моавър - коренуваме
[tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }=\sqrt {3\sqrt{1+\sqrt{2}}(cos\varphi+isin\varphi )[/tex]

Окончателно неявният вид на отговора [tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }=\sqrt {3\sqrt{1+\sqrt{2}}}(cos{\frac{\varphi}{ 2} }+isin{\frac{\varphi}{ 2} } )[/tex]

За явния вид трябва да се потрудим с формулите [tex]cos^2\frac{\varphi }{2 }=\frac{1+cos\varphi }{ 2}[/tex]
и [tex]sin^2\frac{\varphi }{2 } =\frac{1-cos\varphi }{ 2}[/tex] , така че да получим конкретните числови стойности на реалната и имагинерната части (точно или с приближение - виж в началото).
Получихме основния корен.

Втори подход.
Чрез алгебрични преобразувания стигаме до полином с реални коефициенти, чиито корен е даденото число [tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }[/tex]. След това се опитваме да го решим.
За съжаление минималният полином с корен даденото число [tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }[/tex], е със съответно уравнение на практика нерешимо [tex]x^8-12x^6+54x^4-108x^2+90=0[/tex].

[Emsss777]

Благодаря ти за изчерпателния отговор, Knowledge Greedy!!!

Имам само още два въпроса:

1. С кой ел. изчислител получи приблизителния отговор ([tex]\sqrt{3+\sqrt{3i} }\approx2,0765-0,2949i[/tex])?

2. Как можем да преобразуваме същия този израз ([tex]\sqrt{3+\sqrt{3i} }[/tex]) от тригонометрична форма в полярна форма?

[Emsss777]

Вторият въпрос не го зададох правилно.

Как мога да преведа израза [tex]\sqrt{3+\sqrt{3i} }[/tex] в следния вид:
[tex]a+bi[/tex], така, че след това да мога да го преобразувам в тригонометричен вид?

Защото ако изразът беше [tex]\sqrt{3+}\sqrt{3i}[/tex], тогава
[tex]a=\sqrt{3}[/tex] ; [tex]b=\sqrt{3}[/tex]

Но не мога да разбера при този израз [tex]\sqrt{3+\sqrt{3i} }[/tex]
на колко са равни ''a'' и ''b''?

[math10.com]

[tex]x^8-12x^6+54x^4-108x^2+90=0[/tex]
[tex]x^4-6x^2+5=u ;\Right u^2=x^8-12x^6+46x^4-60x^2+25[/tex]
[tex]\Right x^8-12x^6+54x^4-108x^2+90=(x^8-12x^6+46x^4-60x^2+25)+8(x^4-6x^2+5)+25=u^2+8u+25=0[/tex]
Това е квадратно уравнение с 2 комплексно спрегнати корена [tex]u_{1,2}=-4\pm 3i[/tex]
Остава да решим 2 биквадратни уравнения , като единствения неприятен факт е ,че свободния член е комплексно число:
[tex]x^4-6x^2+9-3i=0 \Right (x^2-3)^2-3i=0[/tex] и [tex]x^4-6x^2+9+3i=0 \Right (x^2-3)^2+3i=0[/tex].
Сега нека си представим че [tex]3i=a^2 \Right (x^2-3+a)(x^2-3-a)=0[/tex] , от където лесно получаваме [tex]x_{1,2}=\pm \sqrt{3-\sqrt{3i}} ; x_{3,4}=\pm \sqrt{3+\sqrt{3i}}[/tex]
Сега нека си представим че [tex]3i=-b^2 \Right (x^2-3+b)(x^2-3-b)=0[/tex] , от където лесно получаваме [tex]x_{5,6}=\pm \sqrt{3-i\sqrt{3i}} ; x_{7,8}=\pm \sqrt{3+i\sqrt{3i}}[/tex]

[Emsss777]

Благодаря Ви много за отговора, math10.com!

Остава само да разбера, как може да се преобразува този израз ([tex]\sqrt{3+\sqrt{3i} }[/tex]) в тригонометричен вид?

[Knowledge Greedy]

Тригонометричният вид е същността на отговора и той е по-долу в долния край на цитата, другото съм изтрил:

...Модулът на комплексното число в скобите е [tex]\sqrt{(1+\sqrt{2})^2+1^2} =\sqrt{4+2\sqrt{2} }[/tex]
...
Полагаме числата [tex]\frac{1+\sqrt{2} }{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}=cos\varphi[/tex] и [tex]\frac{1}{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}=sin\varphi[/tex]
За това имаме основания, тъй като квадратите им са със сбор [tex]1[/tex] - виж получаването на модула по-горе.
...
[tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }=\sqrt {3\sqrt{1+\sqrt{2}}}(cos{\frac{\varphi}{ 2} }+isin{\frac{\varphi}{ 2} } )[/tex]
...

[Emsss777]

Тригонометричният вид е същността на отговора и той е по-долу в долния край на цитата, другото съм изтрил:

...Модулът на комплексното число в скобите е [tex]\sqrt{(1+\sqrt{2})^2+1^2} =\sqrt{4+2\sqrt{2} }[/tex]
...
Полагаме числата [tex]\frac{1+\sqrt{2} }{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}=cos\varphi[/tex] и [tex]\frac{1}{ \sqrt{4+2\sqrt{2} }}=sin\varphi[/tex]
За това имаме основания, тъй като квадратите им са със сбор [tex]1[/tex] - виж получаването на модула по-горе.
...
[tex]\sqrt {3+\sqrt{3i} }=\sqrt {3\sqrt{1+\sqrt{2}}}(cos{\frac{\varphi}{ 2} }+isin{\frac{\varphi}{ 2} } )[/tex]
...

Сега вече всичко е ясно! Благодаря ти още веднъж, Knowledge Greedy!