Комплексно число --> алгебричен вид

[Dzverky]

Привет,

ще помоля някой, който ги разбира тези задачи да се опита да ми ги обясни по подробно. Ето един пример:

[tex]\frac{(\sqrt{3} + i)^{86}}{(1 + i)^{23}}[/tex]

Матриците, които решаваме в университет ги разбрах, тъй като повече ги упражнявахме, но имам много неясности свързани с този тип задачи. Ще съм благодарен за помощта !

В числителя получих [tex]2^{43}(\sqrt{3}[/tex] + i), но ме съмнява да съм прав.

[Nathi123]

Трябва да се работи с тригонометричен вид на комплексно число. Нека z=[tex](\sqrt{3}+i) = 2 ( cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})\Rightarrow z^{86} =
2^{86}(cos \frac{86\pi}{6}+isin\frac{86\pi}{6}) = 2^{86}( cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})[/tex], [tex]z_{1 } = (1 +i ) = \sqrt{2} ( cos\frac{\pi}{4} + i sin \frac{\pi}{4}) \Rightarrow z_{1 }^{23}=2^{\frac{23}{2}}( cos\frac{23\pi}{4}+isin\frac{23\pi}{4}) =2^{\frac{23}{2}} ( cos\frac{7\pi}{4} +isin\frac{7\pi}{4})[/tex]
( За повдигане комплексните числа на съответната степен използваме формулата на Моавър). По нататък за да се намери [tex]\frac{z^{86}}{z_{1 }^{23}}[/tex] се използва деление на комплексни числа в тригонометричен вид.

[Добромир Глухаров]

Ако трябва да се използва само алгебричен вид, е нещо такова:

[tex](\sqrt{3}+i)^2=3+i^2+2i\sqrt{3}=3-1+2i\sqrt{3}=2(1+i\sqrt{3})[/tex]

[tex](\sqrt{3}+i)^3=2(1+i\sqrt{3})(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i[/tex]

[tex](\sqrt{3}+i)^{86}=(\sqrt{3}+i)^{3.28+2}=((\sqrt{3}+i)^3)^{28}.(\sqrt{3}+i)^2=(8i)^{28}.2(1+i\sqrt{3})=\\
=2^{3.28}.i^{4.7}.2(1+i\sqrt{3})=2^{84}.1^7.2(1+i\sqrt{3})=2^{85}(1+i\sqrt{3})[/tex]

[tex](1+i)^2=1+i^2+2i=1-1+2i=2i[/tex]

[tex](1+i)^3=2i(1+i)=2i-2[/tex]

[tex](1+i)^4=(2i)^2=-4[/tex]

[tex](1+i)^{23}=(1+i)^{4.5}.(1+i)^3=(-4)^5.(2i-2)=-2^{11}(i-1)=2^{11}(1-i)[/tex]

[tex]\frac{(\sqrt{3}+i)^{86}}{(1+i)^{23}}=\frac{2^{85}(1+i.\sqrt{3})}{2^{11}(1-i)}=2^{85-11}\cdot\frac{(1+i.\sqrt{3})(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\
=2^{74}\cdot\frac{1-\sqrt{3}+i\sqrt{3}+i}{1-i^2}=\frac{2^{74}}{2}(1-\sqrt{3}+i(\sqrt{3}+1))=2^{73}(1-\sqrt{3})+i.2^{73}(\sqrt{3}+1)[/tex]

Иначе, в тригонометричен вид, накрая трябва да се намери [tex]sin{\frac{7\pi}{12}}=cos{\frac{\pi}{12}}=cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex] и [tex]cos{\frac{7\pi}{12}}=-sin{\frac{\pi}{12}}=-sin15^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}[/tex]