Уравнение с комплексни корени

[Гост]

Ще помоля за помощ. Не е като да не съм пробвал и прочел необходимото, но в един момент все пак се затруднявам с опредeлянето на аргумента.
Да вземем например уравнението [tex]z^3=8i[/tex]
Първо представям дясната страна във вида [tex]a+bi =0+8i[/tex]
Ясно ми е, че коренуването става по формулата [tex]\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r}. ( cos\frac{\varphi +2k\pi}{3} +isin\frac{\varphi +2k\pi}{3})[/tex]
Ясно ми е също, че каквато е степента, в моя случай трета, толкова са и корените, следователно би трябвало разгледам накрая 3 отделни случая съответно с [tex]k=0,1,2[/tex].
Мога да намеря и [tex]r=\sqrt{0^2+8^2}=\sqrt{64}=8[/tex]
Това, което ме затруднява в този и в други примери е намирането на аргумента, тоест на ъгъла [tex]\varphi[/tex] в радиани.

Може ли малко разяснения по точно този проблем с пресмятането на аргумента, както и информация дали в останалите стъпки съм действал правилно.

[Гост]

И пак съм аз, с още една задача със същия проблем. Ще напиша докъде съм стигнал, наистина не искам наготово някой да ми реши уравненията.
[tex](z^2+2i)^2 +4=0[/tex]
Полагам [tex]z^2+2i=w \Rightarrow w^2=-4[/tex]
[tex]w^2=4i^2 \Leftrightarrow (w-2i)(w+2i)=0[/tex]
[tex]w_{1}=2i, w_{2}=-2i[/tex].`Връщам се обратно да заместя в полагането и получавам следното:
[tex]z^2+2i=2i \Leftrightarrow z^2=0 \Leftrightarrow z_{1,2}=0[/tex]
[tex]z^2+2i=-2i \Leftrightarrow z^2=-4i \Leftrightarrow z^2=0-4i[/tex]
[tex]r=\sqrt{0^2+(-4)^2}=4[/tex]
[tex]\sqrt{z}=2(cos\frac{\varphi +2k\pi}{2} +isin\frac{\varphi +2k\pi}{2})[/tex] при [tex]k=0,1[/tex]
Но ето че пак не знам пак как да намеря точно аргумента.

[Добромир Глухаров]

Всъщност проблемът Ви е с представянето на комплексно число от алгебричен в тригонометричен вид.

Нека [tex]z=a+b.i[/tex] Искаме да представим [tex]z[/tex] във вида [tex]z=r(cos\varphi+i.sin\varphi)[/tex]

От приравняването на двата израза за [tex]z[/tex] получаваме [tex]a=r.cos\varphi;\ b=r.sin\varphi[/tex]

[tex]a^2+b^2=r^2.cos^2\varphi+r^2.sin^2\varphi=r^2(cos^2\varphi+sin^2\varphi)=r^2\Rightarrow r=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] - точно това сте използвал.

Сега за ъгъла [tex]\varphi[/tex] - [tex]\frac{b}{a}=\frac{r.sin\varphi}{r.cos\varphi}=tg\varphi\Rightarrow\varphi=arctg\frac{b}{a}[/tex]

В първата задача [tex]tg\varphi=\frac{8}{0}=\infty\Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}[/tex], а можем да съобразим и, че щом [tex]cos\varphi=0\ и\ sin\varphi>0\Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}[/tex]

Във втората задача [tex]tg\varphi=\frac{-4}{0}=-\infty\Rightarrow \varphi=\frac{3\pi}{2};\ cos\varphi=0\ и\ sin\varphi<0\Rightarrow \varphi=\frac{3\pi}{2}[/tex]

Изобщо трябва да се познават тригонометричните функции.

[Добромир Глухаров]

Най-лесно е, като се нанесат комплексните числа в комплексната равнина. Взимаме си декартова координатна система, по абсцисата нанасяме реалната част на комплексното число, а по ординатата - имагинерната част:

Complex1.png (8.69 KiB) Прегледано 2531 пъти

В конкретния случай числата се изобразяват така (и двете попадат върху имагинерната ос):

Complex.png (8.06 KiB) Прегледано 2531 пъти

[Гост]

Благодаря Ви много. Аз всъщност ги знам общо взето тригонометричните функции, но по-скоро не бях разбрал , че въпросният аргумент е всъщност ъгълът между абсцисата като първо рамо и r като второ. Всъщност по това в кой квадрант е второто рамо и по стойността на тангенса мога да разбера колко е [tex]\varphi[/tex], нали? Дали мога да помоля да напиша тук пълното решение на следващото уравнение, което вече мисля, че ми е вярно и Вие да потвърдите дали е така? А ако не е, да ми кажете само къде съм сгрешил?

[Гост]

[tex]z^8-(2+i)z^4+(1+i)=0[/tex]
[tex]z^4=w[/tex] ще ми е е полагането и уравнението става [tex]w^2-(2+i)w+(1+i)=0[/tex]
[tex]D=4+4i+i^2-4i-4=i^2=-1[/tex]
[tex]w_{1,2}=\frac{2+i \pm i}{2}[/tex]
[tex]w_{1}=1, w_{2}=1+i[/tex]
Връщам се към полагането и получавам тези две уравнения:
Първото: [tex]z^4=1 \Leftrightarrow z^4-1=0 \Leftrightarrow(z^2-1)(z^2-i^2)=0[/tex]
[tex](z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0 \Rightarrow z_{1,2}=\pm1, z_{3,4}=\pm i[/tex]

Второто:[tex]z^4=1+i[/tex]
[tex]tg\varphi=1[/tex]. Ъгълът е в първи квадрант. [tex]\varphi =45 ^\circ=\frac{\pi}{4}rad[/tex]
[tex]r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]
[tex]=>\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{r}(cos\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}+isin\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4})[/tex]
[tex]\sqrt[4]{x}=\sqrt[8]{2}(cos\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}+isin\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4})[/tex]
И тука само остава да ги сметна четирите корена като заместя с [tex]k=0,1,2,3[/tex]

[Добромир Глухаров]

Всичко е точно

[Гост]

Много благодаря за помощта.