Комплексни числа $x^4 = -7-24i$

[Гост]

Намерете корените:
[tex]x^{4}[/tex] = -7-24i
за [tex]\angle[/tex][tex]\varphi[/tex] не получавам специален ъгъл, как се постъпва?

[Knowledge Greedy]

[tex]x^4=-7-24i[/tex]
[tex]x^4=25\left ( -\frac{7}{25}-i\frac{24}{25} \right )[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} -\frac{7}{25}=cos\varphi \\ -\frac{24}{25}=sin\varphi \end{array}[/tex]
С формулата на Моавър намираме
[tex]x_{1,2,3,4}=\sqrt{5}\left[ \left ( cos\frac{\varphi}{4}+\frac{k\pi}{2} \right )+i\left ( sin\frac{\varphi}{4}+\frac{k\pi}{2} \right )\right][/tex], за [tex]k=0, 1, 2, 3[/tex]
От системата по-горе, с формули за понижаване на степента, получаваме [tex]\begin{array}{|l} cos\frac{\varphi}{2} =\pm\frac{3}{5} \\ sin\frac{\varphi}{2} =\pm\frac{4}{5} \end{array}[/tex]
От тях, отново със същите формули [tex]2cos^2\frac{\varphi}{4}-1=cos\frac{\varphi}{2}[/tex] ...
получаваме [tex]\begin{array}{|l} cos\frac{\varphi}{4} =\pm\frac{2}{\sqrt{5}} \\ sin\frac{\varphi}{4} =\pm\frac{1}{\sqrt{5}} \end{array}[/tex]
На чертежа това са координатите на оранжевите точки - всичките четвърти корени на числото [tex]-7-24i[/tex], всеки от които е с модул [tex]\sqrt{5}[/tex].

Четвъртите корени на едно комплексно число.png (4.05 KiB) Прегледано 1157 пъти

Това означава, че алгебричният вид на тези комплексни корени е
[tex]x_1=1+2i[/tex]
[tex]x_2=-2+i[/tex]
[tex]x_1=-1-2i[/tex]
[tex]x_2=2-i[/tex]