В тригонометричен вид корените на уравнение

[Гост]

да се намерят в тригонометричен вид корените на уравнението
[tex]x^{250} - 3i\sqrt{3} + 3 = 0[/tex]

да се намерят в алгебричен вид корените на уравнението
[tex]x^{2} - (3 + 2i)x + (11 - 17i) = 0[/tex]

[Добромир Глухаров]

За първата основно се използва формулата на Моавър. Първо малко преобразуваме:

$x^{250}=6\left(-\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=6\left(cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+i.sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right)=6\left(cos{\frac{2\pi}{3}}+i.sin{\frac{2\pi}{3}}\right)$

Това се нарича привеждане в тригонометричен вид - правим го, за да можем да използваме формулата.

$x=\sqrt[250]{6}\left(cos{\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{250}}+i.sin{\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{250}}\right),\ k=0,1,2,...,249$

$x=\sqrt[250]{6}\left(cos{\left(\frac{\pi}{375}+\frac{k\pi}{125}\right)}+i.sin{\left(\frac{\pi}{375}+\frac{k\pi}{125}\right)}\right),\ k=0,1,2,...,249$

[Добромир Глухаров]

$x^2-(3+2i)x+(11-17i)=0$

$D=(3+2i)^2-4(11-17i)=9+12i-4-44+68i=-39+80i=25-64+2.5.8.i=5^2+(8i)^2+2.5.8i=(5+8i)^2$

$x_{1,2}=\frac{3+2i\pm(5+8i)}{2}=4+5i;-1-3i$