Аргумент на комплексно число

[Гост]

Как се намира аргумент на комплексно число? Примерно на задачите: z=1-i ; z=1 ; z=[tex]\sqrt{3}[/tex]+i. Интересувам се от начина не толкова от отговорите

[Nathi123]

Комплексното число трябва да се представи в тригонометричен вид. z = a +bi . Тригонометричния вид e [tex]z = |z|(cos\varphi + isin\varphi ) ; |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}; tg\varphi = \frac{b}{a}; \varphi[/tex] - аргумент на компл. число z; |z| - модул на z.Пример :
z= 1 - i [tex]|z| = \sqrt{1+(-1)^{2}}=\sqrt{2} ; tg\varphi = -1\Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{4}\Rightarrow z =\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi}{4}) + i sin(-\frac{\pi}{4}))[/tex].
Но по - добре е аргументът на z да се намира,като решение на системата :
[tex]\begin{array}{|l} cos\varphi = \frac{a}{|z|} \\ sin\varphi = \frac{b}{|z|} \end{array}[/tex].

[differenciala]

Здравей,
По определение, аргумент на ненулево комплексно число $z=x+iy$ е реално число $\theta$, за което $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$. За да се намери аргумент на $z$, е трябва да се реши системата от уравнения $\cos \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, което е удобно да се прави за $\theta\in(-\pi,\pi]$.

Тази система има единствено решение, което се нарича главен аргумент на $z$. Всеки друг аргумент на $z$ може да се получи като като към главния аргумент се добави някое целочислено кратно на $2\pi$. Това са теореми от анализа.

Най-често при практическите задачи се дават числа, за които последната система се решава лесно, чрез геометрични съображения, или чрез използване на знания от таблици със стойностите на синус и косинус, за някои конкретни известни ъгли. При самото решаване на системата, обикновено се решава само едно от двете уравнения (без значение кое), като то има две решения в посочения интервал $(-\pi,\pi]$, но само едно от тях удовлетворява другото уравнение. Това решение дава главния аргумент.

Трябва обаче да се внимава, когато се търси аргумент на $z$ от уравнението $\tg \theta=\frac{y}{x}$, тъй като не всяко решение на това уравнение е аргумент на $z$. Например за числото $z=1-i$, числото $\theta=\frac{3\pi}{4}$ е решение на $\tg\theta=-1$, но не е aргумент на $z$, тъй като $$\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=-1+i\neq z.$$