равностранен триъгълник

[Гост]

Ако началото на координатната система и решенията на [tex]z^{2}+az+b=0[/tex] обpазуват равностранен триъгълник, отношението [tex]a^{2}:b[/tex] е?

[Добромир Глухаров]

$z^2+az+b=0;\ D=a^2-4b;\ z_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$

От условието да са върхове на раностранен триъгълник $\Rightarrow|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|$

$|\sqrt{a^2-4b}-a|=|\sqrt{a^2-4b}+a|=2|\sqrt{a^2-4b}|\ |:|\sqrt{b}|$

$\left|\sqrt{\frac{a^2}{b}-4}-\sqrt{\frac{a^2}{b}}\right|=\left|\sqrt{\frac{a^2}{b}-4}+\sqrt{\frac{a^2}{b}}\right|=2\left|\sqrt{\frac{a^2}{b}-4}\right|$

$\frac{a^2}{b}=z$

$|\sqrt{z-4}-\sqrt{z}|=|\sqrt{z-4}+\sqrt{z}|=2|\sqrt{z-4}|$

$\left|1-\sqrt{\frac{z}{z-4}}\right|=\left|1+\sqrt{\frac{z}{z-4}}\right|=2$

$\sqrt{\frac{z}{z-4}}=\pm i\sqrt{3}$

$\frac{z}{z-4}=-3$

$\cdots$

$z=3$

[Гост]

[tex]z_{1 }+z_2=-a[/tex]
[tex]z_1\cdot z_2=b[/tex]
[tex]z_3=0[/tex]
[tex]z_1^{2}+z_2^{2}+z_3^{2}=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3[/tex]
[tex]z_1^2 + z_2^2 = z_1z_2[/tex]
[tex](z_1 + z_2)^2 – 2z_1z_2 = z_1z_2[/tex]
[tex]a^2 = 3b\Rightarrow a^{2}:b=3[/tex]

[matst]

Док-во, че [tex](z_1+z_2+z_3)^2=3(z_1 z_2+z_2 z_3+ z_3 z_1)[/tex]
е НДУ три компл. числа [tex]z_1, z_2, z_3[/tex] да са върхове на равностранен триъгълник.

Транслира се триъгълника така, че центърът да съвпадне с 0.
Върховете на транслираният триъгълник са корените на [tex]w^3-r^3 e^{3i\varphi}=0[/tex], (ур-е отн. [tex]w[/tex]).
Транслира се обратно чрез [tex]w=z-\eta[/tex] и се получава уравнение [tex]z^3- z^2 \sigma_1 + z \sigma_2 - r^3 e^{3i\varphi} - \eta^3=0[/tex],
където [tex]\sigma_1 = 3\eta, \sigma_2= 3 \eta^2[/tex]. Така, [tex]\sigma_1^2 = 3 \sigma_2[/tex].

Край на доказателството.