Правоъгълник

[Гост]

Ако Re(z) и Im(z) са цели, лицето на правоъгълника, чиито върхове са решенията на [tex]\overline{z}z^3­­ + z\overline{z}^{3} = 350[/tex], е?

[Гост]

[tex]x,y\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]z\overline{z}(z^2 + \overline{z}^2) = 350[/tex]
[tex](x^2 + y^2) [(x + iy)^2 + (x – iy)^2]= 350[/tex]
[tex](x^2 + y^2) \cdot 2(x^2 – y^2) = 350[/tex]
[tex](x^2 + y^2) (x^2 – y^2) = 175 = 25 × 7[/tex]
[tex]x^2 + y^2 = 25 \wedge x^2 – y^2 = 7[/tex]
[tex]2x^2 = 32 , x^2 = 16[/tex]
[tex]y^2 = 16 – 7 = 9[/tex]
[tex]x = ± 4 \wedge y = ±3[/tex]
[tex]\{A,B,C,D\}=\{ (4, 3), (– 4, 3), (– 4, – 3), (4, – 3)\}[/tex]
[tex]S_{ABCD }=8 × 6 = 48[/tex]