неравенство

[Гост]

Ako [tex]|x|+|y|\le k|z|[/tex], k=?

[Sup3rlum]

Ако $z=x+iy$:

$|x|+|y|\le k\sqrt{x^2+y^2}$

$x^2+2|xy|+y^2 \le k^2(x^2+y^2)$

$2|xy|\le(k^2-1)(x^2+y^2)$

Заместваме:
$x=rcos\theta, y=rsin\theta$

$2|r^2sin\theta cos\theta|\le r^2(k^2-1)$

$|sin2\theta|\le (k^2-1)$

Знаем, че максималната стойност на $|sin2\theta|$ е 1 $\Rightarrow 1 \le k^2-1 \Rightarrow k \ge \sqrt{2}$

[Гост]

[tex]\begin{cases} \max|\sin 2\theta|=k^{2}-1 \\ \max|\sin 2\theta|=1 \end{cases}\Rightarrow k^{2}-1=1\Rightarrow k=\pm \sqrt{2};k>0\Rightarrow k=\sqrt{2}[/tex]

[Гост]

*[tex]k\ge 0[/tex]