безкрайно произведение

[Гост]

Ako [tex]z_n=cos\frac{\pi}{2^{n}}+isin\frac{\pi}{2^{n}}[/tex], [tex]z_1z_2z_3...\infty=?[/tex]

[Sup3rlum]

Тук използваш формулата на ойлер:

$e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$

$\Rightarrow z_n=e^{i\frac{\pi}{2^n}}$

$\prod_{n=1}^\infty z_n=\prod_{n=1}^\infty e^{i\frac{\pi}{2^n}}=e^{i\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}}$

Сега да разгледаме сбора:

$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$
$S+1=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}$

$S+1=2$
$S=1 \Rightarrow e^{i\pi S}=e^{i\pi}=-1$

[Гост]

[tex]S=1/2+1/4+1/8+...=\frac{1/2}{1-1/2}=1\, (|q|<1)[/tex]