върхове на триъгълник

[Гост]

Ако A([tex]z_1[/tex]), B([tex]z_2[/tex]), C([tex]z_3[/tex]) са върховете на [tex]\triangle ABC[/tex], [tex]\angle C=\frac{\pi}{2}[/tex], AC=BC и [tex](z_1-z_2)^{2}=k(z_1-z_3)(z_3-z_2)[/tex], k=?

[Knowledge Greedy]

[tex]k=2[/tex] или [tex]k=-2[/tex]

[Гост]

защо два знака?

[Добромир Глухаров]

$AC^2+BC^2=AC^2$

$2BC^2=2AC^2=AB^2\Rightarrow AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}BC\Rightarrow AB^2=2AC.BC$

$AB=|z_2-z_1|,\ AC=|z_3-z_1|,\ BC=|z_3-z_2|$

$|z_2-z_1|^2=2|z_3-z_1|.|z_3-z_2|\ (1)$

$(z_1-z_2)^2=k(z_3-z_1)(z_3-z_2)(*)\Rightarrow|z_1-z_2|^2=|k|.|z_3-z_1|.|z_3-z_2|\ (2)$

$(1)\wedge(2)\Rightarrow|k|=2$

[Добромир Глухаров]

защо два знака?

Всъщност наистина: като проверих няколко частни случая, дори като разменям $z_1$ и $z_2$, получавам все $k=2$ и нито веднъж $k=-2$. Тръгнах да го доказвам с тригонометрия, но се замотах в сметки .

Edit: Да, с тригонометрия доказах, че $k=2$, но сметките са скучни. Есенцията е да означим $C(x,y),\ A(x+d.cos\varphi,y+d.sin\varphi),\ B(x+d.cos(\varphi\pm90^\circ),y+d.sin(\varphi\pm90^\circ))$ и като заместим в $(z_1-z_2)^2=k(z_1-z_3)(z_3-z_2)$, първо $d$ се съкращава и след преобразувания се получава $k=2$.