[tex]tg( \frac{i+ \pi }{2})=? [/tex]

[Гост]

[tex]tg( \frac{i+ \pi }{2})=?[/tex]

[Добромир Глухаров]

Бихме могли да използваме формулите:

$tg\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{1-cos(z)}{sin(z)}$

$cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

$sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$tg\frac{i+\pi}{2}=\frac{1-cos(i+\pi)}{sin(i+\pi)}=\frac{1+cos(i)}{-sin(i)}=\\=\frac{1+\frac{e^{i^2}+e^{-i^2}}{2}}{-\frac{e^{i^2}-e^{-i^2}}{2i}}=\frac{1+\frac{\frac{1}{e}+e}{2}}{\frac{e-\frac{1}{e}}{2i}}=2i\cdot\frac{2e+1+e^2}{2e^2-2}=i\cdot\frac{(e+1)^2}{e^2-1}=i\cdot\frac{e+1}{e-1}$

[Гост]

как се доказва тази формула за половиния ъгъл?

[Добромир Глухаров]

Това е формула от елементарната тригонометрия, разширена за комплексни числа. Доказва се например така:

$tg\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{sin\left(\frac{z}{2}\right)}{cos\left(\frac{z}{2}\right)}=\frac{2sin^2\left(\frac{z}{2}\right)}{2sin\left(\frac{z}{2}\right)cos\left(\frac{z}{2}\right)}=\\=\frac{sin^2\left(\frac{z}{2}\right)+cos^2\left(\frac{z}{2}\right)-\left(cos^2\left(\frac{z}{2}\right)-sin^2\left(\frac{z}{2}\right)\right)}{sin(z)}=\frac{1-cos(z)}{sin(z)}$

[Гост]

tan.PNG (72.38 KiB) Прегледано 899 пъти

[Гост]

mersi