[tex]\sqrt{2}|z| \ge |Re(z)|+|Im(z)|[/tex]

[Гост]

Докажете неравенството:

[tex]\sqrt{2}|z| \ge |Re(z)|+|Im(z)|[/tex]

[Добромир Глухаров]

$Re(z)$, $Im(z)$ и $|z|$ са съответно катетите и хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Трябва да докажем $\sqrt{2}c\geq a+b$. Повдигайки на квадрат, използвайки Питагоровата теорема, привеждайки подобните едночлени и разлагайки на множители, стигаме до очевидно вярното неравенство $(a-b)^2\geq0$.