Квадратен полином

[Гост]

Намерете коефициентите на полинома [tex]p(z)= z^{2 } +az+b[/tex], ако за всички точки от единичната окръжност [tex]|p(z)|=1[/tex]

[peyo]

Намерете коефициентите на полинома [tex]p(z)= z^{2 } +az+b[/tex], ако за всички точки от единичната окръжност [tex]|p(z)|=1[/tex]

$p(z)= (x+iy)^{2 } +a(x+iy)+b$

$x=sin(\gamma)$
$y=cos(\gamma)$

$p(z)= (sin(\gamma)+icos(\gamma))^{2 } +a(sin(\gamma)+icos(\gamma))+b$

$p(z)= sin(\gamma)^2+i2sin(\gamma)cos(\gamma) - cos(\gamma)^{2 } +asin(\gamma)+iacos(\gamma)+b$

$p(z)= sin(\gamma)^2- cos(\gamma)^{2 } +asin(\gamma)+b +i(2sin(\gamma)cos(\gamma) +acos(\gamma))$

$(sin(\gamma)^2- cos(\gamma)^{2 } +asin(\gamma)+b)^2 + (2sin(\gamma)cos(\gamma) +acos(\gamma))^2 = 1$

In [9]: print(latex(simplify(expand((sin(g)**2- cos(g)**2 +a*sin(g)+b)**2 + (2*sin(g)*cos(g) +a*cos(g))**2))))
a^{2} + 2 a b \sin{\left(g \right)} + 2 a \sin{\left(g \right)} + b^{2} + 4 b \sin^{2}{\left(g \right)} - 2 b + 1

$a^{2} + 2 a b \sin{\left(g \right)} + 2 a \sin{\left(g \right)} + b^{2} + 4 b \sin^{2}{\left(g \right)} - 2 b + 1=1$


$ 4 b \sin^{2}{\left(g \right)}+ (2 a b + 2 a) \sin{\left(g \right)} - 2 b + a^{2} + b^{2} =0$

Имаме полином от втора степен спрямо sin(g) и по метода на неопределените коефиценти ще намерим a и b.


[tex]\begin{array}{|l} 4 b = 0 \\ 2 a b + 2 a = 0 \\ - 2 b + a^{2} + b^{2}=0 \end{array}[/tex]

Едиственото решение е $a=0$ и $b=0$.

Така полинома който търсим е:

$p(z)= z^{2 }$