Уравнение с комплексни корени

[Гост]

Може ли някой да реши уравнението:

z^3-2z^2-3iz+1+3i=0

Защото аз не можах...

[pipi langstrump]

Вижда се, че 1 е корен и прилагаме метода на неопределените коефициенти

$(z-1)(z^2 + Az + B) = z^3 + (A-1)z^2 + (B-A)z-B$

$A = -1$
$B = -(1+3i)$

$(z-1)(z^2-z-1-3i)$

[Гост]

Дотук - ОК.
После z^2-z=1+3i го развивам със z=x+yi и получавам за реалната част:
4x^4-8x^3+x^2+3x-10=0
Корените на това уравнение са (-1) и 2, но как да ги получа, пак с налучкване ли?

[pal702004]

После z^2-z=1+3i

Между другото въобще не е трудно да се напише $ от двете страни на формулата.
$(2z-1)^2=5+12i$

$(a+bi)^2=5+12i$

[tex]\begin{array}{|l} a^2-b^2=5 \\ ab=6 \end{array}[/tex]

Тук $(\pm 3,\pm 2)$ е очевидно, но и при неочевидните случаи се свежда до биквадратно ур-ие.

[KOPMOPAH]

Дотук - ОК.
После z^2-z=1+3i го развивам със z=x+yi и получавам за реалната част:
4x^4-8x^3+x^2+3x-10=0
Корените на това уравнение са (-1) и 2, но как да ги получа, пак с налучкване ли?

А как ги получихте? Ако е разрешено да се решава онлайн - и това тук върши работа. Иначе има страдание с използването на метода на Ферари или Декарт-Ойлер

[pal702004]

Иначе има страдание с използването на метода на Ферари или Декарт-Ойлер

KOPMOPAH, какво "страдание" може да има в решаването на системата по-горе?

[KOPMOPAH]

KOPMOPAH, какво "страдание" може да има в решаването на системата по-горе?

Аз не съм казвал, че има "страдание" при решаването на системата, която е съставена, а при използване на гореспоменатите средства за решаване на уравнения от $4$-та степен.

Между другото, въобще не е трудно, освен да се напише $\$$ от двете страни на формулата, да се напише и още един ред, а именно:

$$~~~~~~~~~~~~z^2-z=1+3i \Leftrightarrow z^2-z=1+3i|\times 4 \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow 4z^2-4z+1=5+12i \Leftrightarrow (2z−1)^2 =5+12i$$
от който на питащия да стане ясно как от $z^2-z=1+3i$ се стига до $(2z−1)^2 =5+12i$

Вашето решение е добро, за което Ви поздравявам.

[Гост]

Бях получил решенията с "това тук", но успях да я реша и сам. Използвах връзката между коефициенти и корени:
z1+z2+z3=2
z1.z2+z1.z3+z2.z3=-3
z1.z2.z3=-(1+3i)

Pipi ми подсказа за z1=1 (благодаря!) и след това след сравнително прости изчисления се получиха верните решения:
z2=2+i
z3=-1-i

Благодаря на всички!