Извършете делението на комплексните числа 3+1 / 1-2i

[Гост]

Здравейте

Дали мога да помоля за помощ за следната задача. Благодаря много предварително !

[grav]

В числителя има ли [tex]i[/tex]?

[KOPMOPAH]

В числителя има ли [tex]i[/tex]?

Допускаме, че числителят е $3+i$, а знаменателят $1-2i$. Може да се подходи по два начина:

I начин:

Умножаваме числителя и знаменателя по комплексно спрегнатото на знаменателя:

$~~~~~~\frac{3+i}{1-2i}=\frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{3+6i+i-2}{1^2-(2i)^2}=\frac 15+\frac 75i$

II начин:

Частното на две комплексни числа е (в общия случай) също комплексно число.

$~~~~~~\frac{3+i}{1-2i}=a+bi\Rightarrow 3+i=(1-2i)(a+bi)\Rightarrow 3+i=a-2ai+bi+2b\Rightarrow 3+i=(a+2b)+(-2a+b)i$

Коефициентите пред реалната и имагинерната част са равни, което ни дава системата:

$~~~~~~\begin{array}{|l} a+2b=3 \\ -2a+b=1 \end{array}$

Нейните решения са $a=\frac 15,~~b=\frac 75$, което са коефициентите пред реалната и имагинерната част на частното.

[ammornil]

С горното допускане в предвид, ето още един подход: в инженерните изчисления умножение и деление на комплексни числа често се пресмята с добро приближение в експоненциален запис.

[tex]A=3+i, \hspace{0.5em} |A|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}, \hspace{0.5em} \tg{\varphi_{A}}=\frac{1}{3} \Rightarrow \varphi_{A}=\arctg{\left(\frac{1}{3}\right)}\approx 0,321751 \Rightarrow A=\sqrt{10}e^{0,321751i}[/tex]

[tex]B=1-2i, \hspace{0.5em} |B|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}, \hspace{0.5em} \tg{\varphi_{B}}=\frac{-2}{1} \Rightarrow \varphi_{B}=\arctg{(-2)}\approx -1,107149 \Rightarrow B=\sqrt{5}e^{-1,107149i}[/tex]

[tex]C=\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{10}e^{0,321751i}}{\sqrt{5}e^{-1,107149i}}=\sqrt{2}e^{1,4289i} \Rightarrow C = 1,414214\cos{(1,4289)} + 1,414214i\sin{(1,4289)}\approx 0,2 + 1,4i[/tex]

Забележка: в система СИ мерната единица за равнинен ъгъл е радиан, всички ъгли са в радиани.