Алгебричен вид

[martina04]

Здравейте, имам нужда от помощ с тази задача:
Да се намери алгебричният вид на числото:

[KOPMOPAH]

От съседната тема:

Да пробваме така:

$~~~~\frac{\left(-39+9i\sqrt3\right)^{111}}{\left(-3-2i\sqrt3\right)^{220}}=\frac{\left(-39+9i\sqrt3\right)^{110}}{\left(\left(-3-2i\sqrt3 \right)^2\right)^{110}}\cdot\left(-39+9i\sqrt3\right)=$

$~~~~=\frac{\left(-39+9i\sqrt3\right)^{110}}{\left(\underbrace{\left(-3-2i\sqrt3 \right)^2}_{=-3+12i\sqrt3}\right)^{110}}\cdot\left(-39+9i\sqrt3\right)=\frac{\cancel{(-3)^{110}}\left(-13+3i\sqrt3\right)^{110}}{\cancel{(-3)^{110}}\left(\left(1-4i\sqrt3 \right)^2\right)^{110}}\cdot\left(-39+9i\sqrt3\right)=\left(\frac{-13+3i\sqrt3}{1-4i\sqrt 3}\right)^{110}\cdot\left(-39+9i\sqrt3\right)=$

Извършваме деленето отделно:

$~~~~\displaystyle\frac{-13+3i\sqrt3}{1-4i\sqrt 3}=\frac{-13+3i\sqrt3}{1-4i\sqrt 3}\cdot\frac{1+4i\sqrt 3}{1+4i\sqrt 3}=\frac{-13+3i\sqrt3 -52i\sqrt3-36}{1+48}=\frac{(-\cancel{49})(1+i\sqrt 3)}{\cancel{49}}=-(1+i\sqrt 3)=-\frac 12\left(\cos \frac {\pi}3+\sin \frac {\pi}3\right)=-\frac 12 e^{\displaystyle\frac {i\pi}3}=$

Остава да повдигнем $-\displaystyle\frac 12 e^{\displaystyle\frac {i\pi}3}$ на $110$-та степен, да превърнем резултата в алгебричен вид и за финал да го умножим по $\left(-39+9i\sqrt3\right)$

Да продължим:

$\left(-\displaystyle\frac 12 e^{\displaystyle\frac {i\pi}3}\right)^{110}=\left(\displaystyle-\frac 12\right)^{110}\cdot\left(\displaystyle\cos \frac {110\pi}3+i\sin\frac {110\pi}3\right)=\displaystyle\frac 1{2^{110}}\cdot\left(\displaystyle\cos \frac {2\pi}3+i\sin\frac {2\pi}3\right)=\displaystyle\frac 1{2^{110}}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt 3}2\right)$

И накрая:

$\displaystyle\frac 1{2^{110}}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt 3}2\right)\cdot\left(-39+9i\sqrt3\right)=\cdots$