Корени на уравнение

[grav]

Задачата не е трудна, но е интересна (исторически). Да се намерят корените на уравнението. [tex]x^3-6x+4=0[/tex] И трите са реални.

Ако се изпозлва формулата на Кардано се получава това [tex]x= \sqrt[3]{-2+2i} + \sqrt[3]{-2-2i}[/tex]. След като и трите са рeалани, това е реално число. Кое?

[ammornil]

Задачата не е трудна, но е интересна (исторически). Да се намерят корените на уравнението. [tex]x^3-6x+4=0[/tex] И трите са реални.

Ако се изпозлва формулата на Кардано се получава това [tex]x= \sqrt[3]{-2+2i} + \sqrt[3]{-2-2i}[/tex]. След като и трите са рeалани, това е реално число. Кое?

Скрит текст: покажи

[tex]2\sqrt[6]{8}\cos{\frac{\pi}{12}}[/tex]?

[grav]

[tex]2\sqrt[6]{8}\cos{\frac{\pi}{12}}[/tex]?

Директна проверка показва, че [tex]x=2[/tex] е корен. Другите два също се намират лесно. Нито един от тях не е равен на това което предлагаш.

[ammornil]

[tex]2\sqrt[6]{8}\cos{\frac{\pi}{12}}[/tex]?

Директна проверка показва, че [tex]x=2[/tex] е корен. Другите два също се намират лесно. Нито един от тях не е равен на това което предлагаш.

Да, вярно.

Скрит текст: покажи

[tex]x_{1}=2\sqrt{2}\cos{\frac{3\pi}{12}}=2=\text{даденото комплексно число}, x_{2}=2\sqrt{2}\cos{\frac{5\pi}{12}}=\sqrt{3}-1, x_{3}=2\sqrt{2}\cos{\frac{11\pi}{12}}=-\sqrt{3}-1[/tex]

[Евва]

По Хорнер лесно намираме ,че 2 е корен .
Нататък е много лесно .
Получих [tex]\sqrt{3}[/tex]-1 и -[tex]\sqrt{3}[/tex]-1 са другите два реални корена .

[Евва]

По Хорнер намираме ,че 2 е реален корен на уравнението .
[tex]x^{3 }[/tex] -6х +4 = (х-2)([tex]x^{2 }[/tex]+ах-2)

[tex]x^{3 }[/tex]-6х +4= [tex]x^{3 } +а x^{2 } -2х-2 x^{2 }[/tex] -2ах+4

0.[tex]x^{2 }[/tex]-6х =(а-2)[tex]x^{2 }[/tex]-(2+2а)х

Следователно а=2 .
[tex]x^{3 }[/tex]-6х+4 = 0
(х-2)([tex]x^{2 }[/tex]+2х-2)= 0

[tex]x_{1 }[/tex]=2 ,[tex]x_{2}[/tex]= [tex]\sqrt{3}[/tex]-1 ,[tex]x_{3 }[/tex]= -[tex]\sqrt{3}[/tex]-1

[grav]

Евва, въпросът е кой от тези три корена се представя чрез формулата на Кардано (израза от първия пост).

[pipi langstrump]

Задачата не е трудна, но е интересна (исторически). Да се намерят корените на уравнението. [tex]x^3-6x+4=0[/tex] И трите са реални.

Ако се изпозлва формулата на Кардано се получава това [tex]x= \sqrt[3]{-2+2i} + \sqrt[3]{-2-2i}[/tex]. След като и трите са рeалани, това е реално число. Кое?

[tex]\sqrt[3]{-2+2i} + \sqrt[3]{-2-2i} = 2[/tex]