Помощ с комплексни числа

[Гост]

Моля за помощ с [tex]\frac{(-\sqrt{3} - i)}{(1+i)}[/tex] [tex]\sqrt[4]{-2+2i}[/tex] получавам -[tex]\frac{(\sqrt{3} + i)}{(1+i)}[/tex] x 0 но не мисля че е вярно

[ammornil]

Моля за помощ с [tex]\frac{(-\sqrt{3} - i)}{(1+i)}[/tex] [tex]\sqrt[4]{-2+2i}[/tex] получавам -[tex]\frac{(\sqrt{3} + i)}{(1+i)}[/tex] x 0 но не мисля че е вярно

[tex]A=\frac{-\sqrt{3} - i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}i-i-1}{1+1}=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}-\frac{1-\sqrt{3}}{2}i \\ \phantom{a} \\ \hspace{4em} |A|=\sqrt{\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)^{2}+\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{4em} \tg{\varphi_{A}}=\frac{-\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=-\frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3}=2+\sqrt{3} \Rightarrow \varphi_{A}=-\frac{7\pi}{12} \\[/tex]$$ A=(2)^{\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{7\pi}{12}i}$$

[tex]B=\sqrt[4]{-2+2i}=(-2+2i)^{\frac{1}{4}}\\ \phantom{a} \\ \hspace{4em} |B|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{4em} \tg{\varphi_{B}}=\frac{2}{-2}=-1 \Rightarrow \varphi_{B}=\frac{3\pi}{4} \\ B=(8^{\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{3\pi}{4}i})^{\frac{1}{4}}=\left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot \left(e^{3\frac{\pi}{4}i}\right)^{\frac{1}{4}}[/tex]$$ B=8^{\frac{1}{8}}\cdot e^{\frac{3\pi}{16}i} $$

[tex]A\cdot B= A=(2)^{\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{7\pi}{12}i}\cdot (2^{3})^{\frac{1}{8}}\cdot e^{\frac{3\pi}{16}i}[/tex]$$ A\cdot B=2^{\frac{7}{8}}\cdot e^{-\frac{19\pi}{48}i} $$

Забележка:
[tex]A[/tex] лежи в трети квадрант, затова ъгълът съответващ на [tex]\tg{\varphi}=2+\sqrt{3}[/tex] е [tex]-\frac{7\pi}{12}[/tex]; [tex]B[/tex] лежи във втори квадрант, затова ъгълът съответващ на [tex]\tg{\varphi}=-1[/tex] е [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex].

[ammornil]

Допуснал съм грешка в знаците за [tex]A[/tex]. Моля за извинение.

[tex]A=\frac{-\sqrt{3} - i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}i-i-1}{1+1}=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\red{+\frac{\sqrt{3}-1}{2}i} \\ \phantom{a} \\ \hspace{4em} |A|=\sqrt{\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)^{2}+\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{4em} \tg{\varphi_{A}}=\frac{-\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=-\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=-\frac{1+2\sqrt{3}+3}{3-1}=-2-\sqrt{3} \Rightarrow \varphi_{A}=\frac{7\pi}{12} \\[/tex]$$ A=(2)^{\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{7\pi}{12}i}$$

[tex]B=\sqrt[4]{-2+2i}=(-2+2i)^{\frac{1}{4}}\\ \phantom{a} \\ \hspace{4em} |B|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{4em} \tg{\varphi_{B}}=\frac{2}{-2}=-1 \Rightarrow \varphi_{B}=\frac{3\pi}{4} \\ B=(8^{\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{3\pi}{4}i})^{\frac{1}{4}}=\left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot \left(e^{3\frac{\pi}{4}i}\right)^{\frac{1}{4}}[/tex]$$ B=8^{\frac{1}{8}}\cdot e^{\frac{3\pi}{16}i} $$

[tex]A\cdot B= A=(2)^{\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{7\pi}{12}i}\cdot (2^{3})^{\frac{1}{8}}\cdot e^{\frac{3\pi}{16}i}[/tex]$$ A\cdot B=2^{\frac{7}{8}}\cdot e^{\frac{37\pi}{48}i} $$

Забележка:
[tex]A[/tex] лежи във втори квадрант, затова ъгълът съответващ на [tex]\tg{\varphi}=-2-\sqrt{3}[/tex] е [tex]\frac{7\pi}{12}[/tex]; [tex]B[/tex] лежи във втори квадрант, затова ъгълът съответващ на [tex]\tg{\varphi}=-1[/tex] е [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex].

[Гост]

А има ли друг начин за решение (по-лесен)

[ammornil]

А има ли друг начин за решение (по-лесен)

Доколкото аз знам, не. Може би тригонометричен запис, ако го намирате за по-лесен.

[tex]A=\frac{-\sqrt{3} - i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{3}i-i-1}{1+1}=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\red{+\frac{\sqrt{3}-1}{2}i} \\ \phantom{a} \\ \hspace{4em} |A|=\sqrt{\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \right)^{2}+\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2} \right)^{2}}=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{4em} \tg{\varphi_{A}}=\frac{-\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=-\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=-\frac{1+2\sqrt{3}+3}{3-1}=-2-\sqrt{3} \Rightarrow \varphi_{A}=\frac{7\pi}{12} \\[/tex]$$ A=(2)^{\frac{1}{2}}\cdot (\cos{\frac{7\pi}{12}}+i\cdot \sin{\frac{7\pi}{12}})$$

[tex]B=\sqrt[4]{-2+2i}=(-2+2i)^{\frac{1}{4}}\\ \phantom{a} \\ \hspace{4em} |B|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}} \\ \hspace{4em} \tg{\varphi_{B}}=\frac{2}{-2}=-1 \Rightarrow \varphi_{B}=\frac{3\pi}{4} \\ B=(2^{\frac{3}{2}} \cdot (\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\cdot \sin{\frac{3\pi}{4}}))^{\frac{1}{4}} \\ B=2^{\frac{3}{8}} \cdot (\cos{(\frac{1}{4}\cdot\frac{ 3\pi}{4})}+i\cdot \sin{(\frac{1}{4}\cdot \frac{3\pi}{4})})[/tex]$$ B=2^{\frac{3}{8}} \cdot (\cos{ \frac{3\pi}{16}}+i\cdot \sin{ \frac{3\pi}{16}})$$

[tex]A\cdot B= (2)^{\frac{1}{2}}\cdot (\cos{\frac{7\pi}{12}}+i\cdot \sin{\frac{7\pi}{12}})\cdot 2^{\frac{3}{8}} \cdot (\cos{\frac{3\pi}{16}}+i\cdot \sin{\frac{3\pi}{16}})[/tex]$$ A\cdot B=2^{\frac{7}{8}}(\cos{\frac{7\pi}{12}}+i\cdot \sin{\frac{7\pi}{12}})\cdot (\cos{\frac{3\pi}{16}}+i\cdot \sin{\frac{3\pi}{16}})$$

[tex]A\cdot B=2^{\frac{7}{8}}\cdot (\red{\cos{\frac{3\pi}{16}}\cdot \cos{\frac{7\pi}{12}}}\blue{ +i\cdot \sin{\frac{7\pi}{12}}\cdot \cos{\frac{3\pi}{16}} +i\cdot \sin{\frac{3\pi}{16}}\cdot \cos{\frac{7\pi}{12}}}\red{-\sin{\frac{3\pi}{16}}\cdot\sin{\frac{7\pi}{12}}}) \\ \phantom{a} \\ A\cdot B=2^{\frac{7}{8}}\cdot (\cos{(\frac{3\pi}{16}+\frac{7\pi}{12})}+i\cdot\sin{(\frac{3\pi}{16}+\frac{7\pi}{12})}) \\ \phantom{a} \\[/tex]$$A\cdot B=2^{\frac{7}{8}}\cdot(\cos{\frac{37\pi}{48}}+i\sin{\frac{37\pi}{48}})$$

Забележка:
[tex]A[/tex] лежи във втори квадрант, затова ъгълът съответващ на [tex]\tg{\varphi}=-2-\sqrt{3}[/tex] е [tex]\frac{7\pi}{12}[/tex]; [tex]B[/tex] лежи във втори квадрант, затова ъгълът съответващ на [tex]\tg{\varphi}=-1[/tex] е [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex].