Комплексни интеграли

[ferry2]

1. Като използвате основната формула на Коши или интегралните формули за производните пресметнете [tex]\int_{L}\frac{e^{z}}{z}dz[/tex], където [tex]L[/tex] е затворена крива не минаваща през точката [tex]z=0[/tex].

2. Решете интеграла [tex]\int_{|z|=\frac{3}{2}}\cos\frac{1}{z}dz[/tex]

3. Като използват теоремата за резидуумите пресметнете [tex]\int^{\infty}_{0}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]

[ferry2]

След като никой не благоволи да ми даде поне насоки за решаването на въпросните интеграли си поблъсках главата и ги реших. Ще напиша решенията, та ако някой има проблеми с подобен род задачи да може да се ориентира по-бързо.


1. Като използвате основната формула на Коши или интегралните формули за производните пресметнете [tex]I=\int_{L}
\frac{e^{z}}{z}dz[/tex], където [tex]L[/tex] е затворена крива не минаваща през точката [tex]z=0[/tex].

Решение:

Нека [tex]f(z)=e^z[/tex]

1 случай: [tex]z=0\in \text{int} L[/tex] тогава по формулата на Коши [tex]I=2\pi i f(0)=2\pi i e^0=2\pi i[/tex]

2 случай: [tex]z=0 \in \text{ext} L[/tex] тогава по формулата на Коши [tex]I=0[/tex]

2. Решете интеграла [tex]\int_{|z|=\frac{3}{2}}\cos\frac{1}{z}dz[/tex]

(За това не съм много сигурен дали е вярно)Решение:

[tex]f(z)=\cos \frac{1}{z} \in \mathbb{C}\setminus \{0\}[/tex]

[tex]z=0 \in |z|=\frac{3}{2} \Rightarrow I=2\pi i Res(f;0)[/tex]

Развиваме в лоранов ред около т. [tex]z=0[/tex]

[tex]\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...+\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}+...[/tex]

[tex]f(z)=1-\frac{\frac{1}{z^2}}{2!}+\frac{\frac{1}{z^4}}{4!}-...+\frac{(-1)^n\frac{1}{z^{2n}}}{(2n)!}+...[/tex]

Лорановото развитие на [tex]f(z)[/tex] съдържа безброй много членове с отрицателна степен на [tex]\frac{1}{z} \Rightarrow z=0[/tex] е съществена особена точка.

[tex]Res(f;0)=0[/tex], защото 0 е коефициента пред [tex]\frac{1}{z}\Rightarrow I=0[/tex]


3. Като използват теоремата за резидуумите пресметнете [tex]\int^{\infty}_{0}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}[/tex]

Решение:

Разглеждаме функцията [tex]f(z)=\frac{1}{(z^2+1)^2}[/tex]

Точките [tex]z_{1,2}=\pm i[/tex] са двукратни полюси, като само [tex]z=i[/tex] е в горната полуравнина. Следователно [tex]I=2\pi i Res(f;i)[/tex]

[tex]Res(f;i)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z \to i}\left[\frac{(z-i)^2}{(z^2+1)^2}\right]'=\lim_{z \to i}\left[\frac{1}{(z^2+1)^2}\right]'=[/tex]

[tex]=\lim_{z \to i}\frac{-2(z+i)}{(z+i)^4}=\frac{-2}{(2i)^3}=\frac{1}{4i}\Rightarrow I=\frac{2\pi i}{4i}=\frac{\pi}{2}[/tex]

[kerry]

В третата задача си решил интеграла в граници от минус до плюс безкрайност. Сега трябва да съобразиш, че подинтегралната функция е четна и да го решиш и в граници от нула до безкрайност. Т.е. да разделиш на две.

[ferry2]

Значи отговорът на задача 3 е [tex]\frac{\pi}{4}[/tex], така ли? А 2-ра задача вярно ли е решена?