Черни бели топки

[Гост]

Здравейте, можете ли да ми помогнете с една задача по теория на вероятностите. Решил съм я до някъде, но се затруднявам да продължа и не съм сигурен дали отговора ми е верен.

В първа кутия има 3 бели и 3 черни топки. Във втора кутия има 4 бели и 2 черни топки. От първа кутия по случаен начин с връщане се изваждат 2 топки и се поставят в трета празна кутия. От втора кутия по случаен начин без връщане се изваждат 2 топки и се поставят в трета кутия. Нека \gamma е броят на белите топки в третата кутия. Намерете:
А) Редът на разпределение, математическото очакване и дисперсията на \gamma,
Б) Ако след това от трета кутия по случаен начин се вземе 1 топка, намерете вероятността на събитието А - "тази топка да е бяла";
В) P (\gamma = 2 / A).
Г) E(\gamma / A ).

[kmitov]

Най-напред един коментар за този дето е дал задачата: Как става взимането и преместването на една топка с връщане? Къде последно ще е тази топка в третата или в първата кутия?
Ще предполагаме, че вън от кутиите имаме достатъчно черни и бели топки и като вземем топка от първата кутия правим две неща: слагаме я в третата и в първата добавяме от купчината една топка със същия цвят.

Тогава ще разгледаме събитията: А1, А2, А3 - от 1 кутия са прехвърлени в третата 2 бели, 1бяла и една черна, 2 черни съответно; и събитията B1, B2, Б3 - от 2 кутия са прехвърлени в третата 2 бели, 1бяла и една черна, 2 черни съответно.

Събитията Аi са независими от събитията Bj. Техните вероятности са:

P(A1)=(1/2)^2=1/4, P(A2)=2.(1/2)(1/2)=2/4, P(A3)=(1/2)^2

[tex]P(B1)=C_4^2/C_6^2=\frac{4.3}{6.5}=6/15[/tex]

[tex]P(B2)=(C_4^1.C2^1)/C_6^2=\frac{4.2}{15}=8/15[/tex]

[tex]P(B3)=C_2^2/C_6^2=\frac{1}{15}[/tex]

Възможните стойности на [tex]\gamma[/tex] са 0,1,2,3,4

[tex]P(\gamma=0)=P(A3).P(B3)=(1/4)(1/15)=1/60[/tex]

[tex]P(\gamma=1)=P(A2).P(B3)+P(A3).P(B2)=(2/4).(1/15)+(1/4).(8/15)=10/60[/tex]

[tex]P(\gamma=2)=P(A2).P(B2)+P(A1).P(B3) + P(A3).P(B1)=(2/4).(8/15)+(1/4).(1/15)+(1/4).(6/15)=23/60[/tex]

[tex]P(\gamma=3)=P(A2).P(B1)+P(A1).P(B2)=(2/4).(6/15)+(1/4).(8/15)=20/60[/tex]


[tex]P(\gamma=4)=P(A1).P(B1)=(1/4).(6/15)=6/60[/tex]


Б)

[tex]P(A|\gamma = 0)=0[/tex]


[tex]P(A|\gamma = 1)=1/4[/tex]


[tex]P(A|\gamma = 2)=2/4[/tex]


[tex]P(A|\gamma = 3)=3/4[/tex]


[tex]P(A|\gamma = 4)=1[/tex]


По формулата за пълната вероятност пресмятаме
[tex]P(A)=P(\gamma=0)P(A|\gamma=0)+P(\gamma=1)P(A|\gamma=1)+P(\gamma=2)P(A|\gamma=2)+P(\gamma=3)P(A|\gamma=3)+P(\gamma=4)P(A|\gamma=4)[/tex]