Задача с вълшебна кутия

[kimbo]

Здравейте,

имам нужда от помощ за следната задача:

Продава се вълшебна кутия, която дава пари. Според продавача, при всяко теглене от кутията има 50 процента вероятност за даване на пари или спиране на кутията да работи повече.

Например при първото теглене, има вероятност 50 процента да получите 2 лева или кутията да спре.
При второто теглене, има вероятност 50 процента да получите 4 лева или кутията да спре.
При третото теглене, има вероятност 50 процента да получите 8 лева или кутията да спре.
При тегленето на брой N, има вероятност 50 процента да получите 2^N лева или кутията да спре.

Ако продавачът казва истината, каква би трябвало да е цената на кутията и колко бихте дали за нея?

Всякакви мнения са добре дошли.

Благодаря предварително.

[pal702004]

Вероятността кутията да е "добра" точно $n$ пъти е $\frac{1}{2^{n+1}}$. И ще спечелим $2(2^n-1)$ лева.
И математическо очакване на печалбата

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^n-1}{2^n}$

Реда е разходящ, лъже продавача.
Ако машината пускаше всеки път фиксирана сума, всичко щеше да е наред.

[Genie_Almo]

Вероятността кутията да е "добра" точно $n$ пъти е $\frac{1}{2^{n+1}}$. И ще спечелим $2(2^n-1)$ лева.
И математическо очакване на печалбата

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^n-1}{2^n}$

Реда е разходящ, лъже продавача.
Ако машината пускаше всеки път фиксирана сума, всичко щеше да е наред.

Само една малка корекция.
Вероятността кутията да е "добра" точно $n$ пъти е $\frac{1}{2^{n}}$

И тогава математическото очакване за печалбата ще е:

[tex]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{2^{n+1}-2}{2^n}[/tex]

И вече не изглежда толкова нерентабилна инвестицията

[pal702004]

Кутията да е "добра" $n$ пъти означава, че са проведени $n+1$ опита - $n$ пъти густо и един път пусто.

Не случайно сумирането е от 0.

[Genie_Almo]

Точно така, съгласих се! Но все пак ми се струва, че нещо убягва тук. Пак излиза, че средно претеглено с тази кутия трябва да се оберат всички пари на вселената, а не ми звучи логично да е така при тази постановка. Според мен не е разходящ реда, а си отива към 1-ца. А сумата съответно расте неограничено. Греша ли?