Здравейте, имам нужда от помощ за решението на тези задачи.

[PetqR]

1. Вероятността за излизане от строя на k-тия блок на дадена машина за време Т е равна на рk(k = 1, 2,..., n). Да се пресметне вероятността за излизане от строя през посочения ин¬тервал от време поне на един от n-те блока на машината, ако работата на всички блокове е взаимно независима.

2. Правилна монета се хвърля 1000 пъти. Каква е вероятността броят на езитата да е:
а) между 450 и 550?
б) между 480 и 520?
в) между 490 и 510?

3. Нека Х е случайна величина,такава че Р(Х = 1) = р = 1 – Р(Х = –1). Намерете константата с ≠ 1 така, че E(c^{x})=1.

[peyo]

1. Вероятността за излизане от строя на k-тия блок на дадена машина за време Т е равна на $р_k$(k = 1, 2,..., n). Да се пресметне вероятността за излизане от строя през посочения ин¬тервал от време поне на един от n-те блока на машината, ако работата на всички блокове е взаимно независима.

Търсената вероятност е едно минус вероятността никой блок да не се счупи:

$P = 1 - (1-p_1)*(1-p_2)*...(1-p_n)$

[peyo]

2. Правилна монета се хвърля 1000 пъти. Каква е вероятността броят на езитата да е:
а) между 450 и 550?
б) между 480 и 520?
в) между 490 и 510?

Много интересна задача най-вече с това, че не знаех как се решава и трябваше да прочета малко за Probability functionс!

Ще използваме публикуваната тук Probability mass function:
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Probability_mass_function

Големия брой хвърляние предполага за решението на задачата да се ползва компютър (ако някой може да го направи без компютър моля да каже как).

In [239]: from scipy.special import binom

In [223]: n=1000

In [224]: pmf = lambda k: binom(n,k)*0.5**k*0.5**(n-k)

а) между 450 и 550?

In [226]: sum( map( pmf, range(450, 551)))
Out[226]: 0.99860825840604184

б) между 480 и 520?

In [237]: sum( map( pmf, range(480, 521)))
Out[237]: 0.80523367153862579

в) между 490 и 510?

In [238]: sum( map( pmf, range(490, 511)))
Out[238]: 0.49333995737583158

С което задачата е решена.

Вместо Probability mass function можем да използваме малко по надолу в същата статия Cumulative distribution function и там трябва да ползваме numerical Integration и ще получим почти същия отговор.