Вероятности

[Гост]

Работа се състои от две части, които се изпълняват независимо и паралелно. Времето
за изпълнение на първата част е експоненциално разпределена случайна величина
14 ТВМС_курсова_работа_ 2022_02.nb
със средна стойност 1 час, а времето за изпълнение на втората част е експоненциално
разпределена случайна величина със средна стойност 2 часа. Намерете средното
време за изпълнение на работата.

[peyo]

Работа се състои от две части, които се изпълняват независимо и паралелно. Времето
за изпълнение на първата част е експоненциално разпределена случайна величина
14 ТВМС_курсова_работа_ 2022_02.nb
със средна стойност 1 час, а времето за изпълнение на втората част е експоненциално
разпределена случайна величина със средна стойност 2 часа. Намерете средното
време за изпълнение на работата.

Много интересно! Работата ще е свършена, ако и двете задачи са свършени, значи трябва да вземем максимума. Резултатното средно би трябвало да е по-голямо от 2 тогава.

Сигурно има някякъв хубав начин да се реши задачата аналитично, но аз не го знам, затова засега просто ще намерим колко горе-голу е отговора :

from scipy.stats import expon
V1 = expon.rvs(scale=1, size=1000000)
V2 = expon.rvs(scale=2, size=1000000)
Vcomb = [ max(a) for a in zip(V1,V2)]
sum(Vcomb)/len(Vcomb)

Out[185]: 2.332185632040047

Xo-xo-xo

riddle-meme-3316.jpg (137.92 KiB) Прегледано 1171 пъти

[Genie_Almo]

Всъщност, това е една хубава задача. Ето и аналитичното решение:

Да разгледаме атрибутите на експоненциалното разпределение.

Плътност на разпределението: $P(X=x) = \lambda e^{ -\lambda x}$ , където $x\ge0$. Приема се, че експоненциалния процес не може да приключи за отрицателно време, съответно $P(X=x) = 0 $ за $x \lt 0$.

Кумулативна функция на разпределение: $ P(X \le x) = 1 - e^{ -\lambda x}$ за $x\ge0$ и $ P(X \le x) = 0$ за $x \lt 0$.

Очакваната стойност е [tex]\frac{1}{\lambda}[/tex] , а $\lambda$ се нарича параметър на разпределението.

Времето за изпълнение на двете дейности, които следва да се изпълнят независимо, за да се счита работата за свършена, са независими, експоненциално разпределени случайни величини $X_1$ и $X_2$ с параметри $ \lambda_1 $ и $\lambda_2$, за които:

[tex]\begin{cases} \frac{1}{\lambda_1} = 1 => \lambda_1 = 1 \\ \\ \frac{1}{\lambda_2} = 2 => \lambda_2 = \frac{1}{2} \end{cases}[/tex]

Тънкият момент в тази задача е да се помисли какво би било разпределението на случайната величина, която описва времето за изпълнение на цялата работа.
Тук трябва да приемем, че двете паралелни дейности стартират едновременно и работата ще бъде свършена тогава, когато се приключи с дейността изискала повече време. Липсата на подобно предположение за времето на стартиране на двете дейности една спрямо друга би добавила твърде много неопределеност в задачата и аз се съмнявам, че ще може лесно да се достигне до някакво решение.
По отношение на разпределението на времето като случайна величина $X_0$, вероятността цялата работа да се извърши за $x$ часа ще представлява обединение на две условни вероятности, а те са:
1. Вероятността първата дейност да бъде изпълнена за $x$ часа, при условие, че втората дейност е отнела не повече от $x$ часа.
2. Вероятността втората дейност да бъде изпълнена за $x$ часа, при условие, че първата дейност е отнела не повече от $x$ часа.

Записано с формула, това ще изглежда така:

$P_0 (X_0 = x) = P_1 (X_1 = x)*P_2(X_2 \le x) + P_2 (X_2 = x)*P_1(X_1 \le x) = \lambda_1 e^{ -\lambda_1 x} (1 - e^{ -\lambda_2 x}) + \lambda_2 e^{ -\lambda_2 x} (1 - e^{ -\lambda_1 x})$

Замествайки със стойностите на параметрите, получаваме:

$P_0 (X_0 = x) = e^{ -x} (1 - e^{ (-\frac{1}{2}x)}) + \frac{1}{2}e^{ (-\frac{1}{2}x)} (1 - e^{ -x}) = e^{ -x} - \frac{3}{2}e^{ (-\frac{3}{2}x)} + \frac{1}{2}e^{ (-\frac{1}{2}x)}$

Така намерихме плътността на разпределението на случайната величина $X_0$, приемаща стойности в интервала $[0;\infty)$

Тогава, очакваната стойност на случайната величина ще намерим с помощта на формулата:

$ E(X_0) = \int\limits_{0}^{\infty} \left[ x* P \left( X_0=x \right) \right] dx= \int\limits_{0}^{\infty} \left[ x* \left( e^{ -x} - \frac{3}{2}e^{( -\frac{3}{2}x)} + \frac{1}{2}e^{ (-\frac{1}{2}x)} \right) \right] dx = \frac{7}{3} \approx 2.33 $

Скрит текст: покажи

На този сайт има подходящи инструменти, които могат да помогнат при изчисленията, за да се достигне до крайния отговор.
Референция: тук.